因式分解题及解析.doc

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,我们学****了提公因式法和公式法(平方差公式和完整平方公式),事实上,除了这两种方法外,还有其余方法能够用来因式分解,,假如要因
式分解x2+2x﹣3时,明显既没法用提公因式法,也没法用公式法,怎么办呢?这时,我们能够采纳下边的方法:
2
2
2﹣
1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
x+2x﹣3=x+2
×x×1+1
=(x+1)2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
=
解决以下问题:
1)填空:在上述资猜中,运用了_________的思想方法,使得原题变成能够持续用平方差公式因式分解,这类方法就是配方法;
(2)明显所给资猜中因式分解并未结束,请依据资料因式分解
x2+2x﹣3;
(3)请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5.
:把
x4+4分解因式
剖析:这个二项式既无公因式可提,也不可以直接利用公式,怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲
?热点抓住了该式只有两项,并且属于平方和(
x2)2+(22)2的形
式,要使用公式就一定添一项4x2,随马上此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=(x2+2)
2﹣4x2=(x2+2)2﹣(2x)2=(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)
人们为了纪念苏菲?热点给出这一解法,就把它叫做“热点定理”,请你依据苏菲?热点的做法,将以下各式因式分解.
1)x4+4y4;(2)x2﹣2ax﹣b2﹣2ab.
(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2﹣4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
回答以下问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的
_________.
A、
C、两数和的完整平方公式

(2)该同学因式分解的结果能否完全
_________.(填“完全”或“不完全”)
若不完全,请直接写出因式分解的最后结果
_________.
(3)请你模拟以上方法试试对多项式(
x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.

x2+ax﹣6能够因式分解(在整数范围内)的整数值
a,并且将其进
行因式分解.
:两个连续偶数的平方差必定是4的倍数.
+x+m因式分解此后有一个因式为(
3x﹣2),试求m的值并将多
项式因式分解.
(a2+ka+25)﹣b2,
k值
并写出因式分解的过程.
,后解题:要说明朝数式
2x2+8x+10的值恒大于0仍是恒等于0或许恒小于
0,
我们能够将它配方成一个平方式加上一个常数的形式,再去考虑,详细过程以下:
解:2x2+8x+10
=2(x2+4x+5)(提公因式,获得一个二次项系数为
1的二次多项式)
=2(x2+4x+22﹣22+5)
=2[(x+2)2+1](将二次多项式配方)
=2(x+2)2+2
(去掉中括号)
因为当x取随意实数时,代数式
2(x+2)2的值必定是非负数,那么
2(x+2)2+2的值必定
为正数,因此,原式的值恒大于
0,并且,当x=﹣2时,原式有最小值
2.
请模拟上例,说明朝数式﹣
2x2﹣8x﹣10的值恒大于
0仍是恒小于0,并且说明它的最大值
或许最小值是什么.
,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个对于此多项式的描绘:
甲:这是一个三次三项式;
乙:三次项系数为1;
丙:这个多项式的各项有公因式;
丁:这个多项式分解因式时要用到公式法;
若已知这四位同学的描绘都正确,请你结构一个同时知足这个描绘的一个多项式.
,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2(x﹣1)
x﹣9),而乙同学看错了常数项,而将其分解为2(x﹣2)(x﹣4),请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解.
(x2+6x+10)(x2+6x+8)+1分解因式的过程:
解:设x2+6x=y,则
原式=(y+10)(y+8)+1
2
=y+18y+81
=(y+9)2
1)回答以下问题:这位同学的因式分解能否完全?若不完全,请你直接写出因式分解的最后结果:_________.
2)模拟上题解法,分解因式:(x2+4x+1)(x2+4x﹣3)+4.
12.(1)写一个多项式,再把它分解因式(要求:多项式含有字母
m和n,系数、次数不
限,并能先用提取公因式法再用公式法分解).
(2)阅读以下分解因式的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]①
=(1+x)2(1+x)②
=(1+x)3③
①上述分解因式的方法是
_________,由②到③这一步的依据是_________
;
②若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2++x(x+1)2006,结果是_________
;
③分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2++x(x+1)n(n为正整数).
:
因为(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,因此,对于二次项系数为
1的二次三项式
x2+px+q的
因式解,就是把常数项
q分解成两个数的积且使这两数的和等于
p,即假如有
a,b两数满
a﹒b=a+b=p,则有
x2+px+q=(x+a)(x+b).
如分解因式x2+5x+6.
解:因为2×3=6,2+3=5,
因此x2+5x+6=(x+2)(x+3).
再如分解因式x2﹣5x﹣6.
解:因为﹣6×1=﹣6,﹣6+1=﹣5,
因此x2﹣5x﹣6=(x﹣6)(x+1).
同学们,阅读完上述文字后,你能达成下边的题目吗?试一试看.
因式分解:(1)x2+7x+12;(2)x2﹣7x+12;(3)x2+4x﹣12;(4)x2﹣x﹣12.
答案
:把
x4+4分解因式
剖析:这个二项式既无公因式可提,也不可以直接利用公式,怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲
?热点抓住了该式只有两项,并且属于平方和(
x2)2+(22)2的形
式,要使用公式就一定添一项
4x2,随马上此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=(x2+2)
2﹣4x2=(x2+2)2﹣(2x)2=(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)
人们为了纪念苏菲?热点给出这一解法,就把它叫做“热点定理”,请你依据苏菲?热点的做法,将以下各式因式分解.
1)x4+4y4;(2)x2﹣2ax﹣b2﹣2ab.
考点:因式分解-运用公式法.
专题:阅读型.
剖析:这是要运用添项法因式分解,第一要看理解例题才能够试试做以下题目.
解答:解:(1)x4+4y4=x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2,
=(x2+2y2)2﹣4x2y2,
=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2﹣2xy);
2)x2﹣2ax﹣b2﹣2ab,=x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab,=(x﹣a)2﹣(a+b)2,
=(x﹣a+a+b)(x﹣a﹣a﹣b),
=(x+b)(x﹣2a﹣b).
评论:本题考察了添项法因式分解,难度比较大.
(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2﹣4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
回答以下问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的
C.
A、
C、
(2)该同学因式分解的结果能否完全不完全.(填“完全”或“不完全”)
若不完全,请直接写出因式分解的最后结果(x﹣2)4.
(3)请你模拟以上方法试试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.
考点:提公因式法与公式法的综合运用.
专题:阅读型.
剖析:(1)完整平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差;
2)x2﹣4x+4还能够分解,因此是不完全.
3)依据例题的分解方法进行分解即可.
解答:解:(1)运用了C,两数和的完整平方公式;
2)x2﹣4x+4还能够分解,分解不完全;
3)设x2﹣2x=y.
x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1,
=y(y+2)+1,
=y2+2y+1,
=(y+1)2,
=(x2﹣2x+1)2,
=(x﹣1)4.
评论:本题考察了运用公式法分解因式和学生的模拟理解能力,依据供给的方法和款式解答即可,难度中等.
+ax﹣6能够因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进
行因式分解.
考点:因式分解-十字相乘法等.
剖析:依据十字相乘法的分解方法和特色可知:
a是﹣6的两个因数的和,则﹣6可分红3×
(﹣2),﹣3×2,6×(﹣1),﹣6×1,共4
种,因此将x2+ax﹣6分解因式后有4种情
况.
解答:解:x2+x﹣6=(x+3)(x﹣2);
x2﹣x﹣6=(x﹣3)(x+2);
x2+5x﹣6=(x+6)(x﹣1);
x2﹣5x﹣6=(x﹣6)(x+1).
评论:本题考察十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意察看,试试,并
领会它实质是二项式乘法的逆过程,常数﹣6的不一样分解是本题的难点.
:两个连续偶数的平方差必定是4的倍数.
考点:因式分解的应用.
剖析:依据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2,利用平方差公式进行因式分解,即可证出
结论.
解答:解:设两个连续偶数为2n,2n+2,则有
2n+2)2﹣(2n)2,
=(2n+2+2n)(2n+2﹣2n),
=(4n+2)×2,
=4(2n+1),
因为n为整数,
因此4(2n+1)中的2n+1是正奇数,
因此4(2n+1)是4的倍数,
故两个连续正偶数的平方差必定能被
4整除.
评论:本题考察了因式分解的应用,解题的重点是正确设出两个连续正偶数,再用平方差公
式对列出的式子进行整理,本题较简单.

3x2+x+m因式分解此后有一个因式为(
3x﹣2),试求m的值并将多
项式因式分解.
考点:因式分解的意义.
剖析:
因为x
的多项式
3x2+x+m分解因式后有一个因式是
3x﹣2,因此当x=时多项式的值
为0,由此获得对于m的方程,解方程即可求出
m的值,再把m的值代入3x2+x+m
进行因式分解,即可求出答案.
解答:解:∵x的多项式
3x2+x+m分解因式后有一个因式是
3x﹣2,
当x=
时多项式的值为0,
即3×
=0,
2+m=0,
m=﹣2;
3x2+x+m=3x2+x﹣2=(x+1)(3x﹣2);故答案为:m=﹣2,(x+1)(3x﹣2).
评论:本题主要考察因式分解的意义,有公因式时,要先考虑提取公因式;注意运用整体代入法求解.
(a2+ka+25)﹣b2,.
考点:因式分解-运用公式法.
专题:开放型.
剖析:依据完整平方公式以及平方差公式进行分解因式即可.
解答:解:k=±10,
假定k=10,
则有(a2+10a+25)﹣b2=(a+5)2﹣b2=(a+5+b)(a+5﹣b).
评论:本题主要考察了运用公式法分解因式,正确掌握完整平方公式和平方差公式是解题重点.
,后解题:要说明朝数式
2x2+8x+10的值恒大于0仍是恒等于0或许恒小于0,
我们能够将它配方成一个平方式加上一个常数的形式,再去考虑,详细过程以下:
解:2x2+8x+10
=2(x2+4x+5)(提公因式,获得一个二次项系数为
1的二次多项式)
=2(x2+4x+22﹣22+5)
=2[(x+2)2+1](将二次多项式配方)
=2(x+2)2+2
(去掉中括号)
因为当x取随意实数时,代数式
2(x+2)2的值必定是非负数,那么
2(x+2)2+2的值必定
为正数,因此,原式的值恒大于
0,并且,当x=﹣2时,原式有最小值
,说
明朝数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0仍是恒小于
0,并且说明它的最大值或许最小值是什
么.
考点:配方法的应用;非负数的性质:偶次方.
剖析:依据题目供给的方法将二次三项式配方后即可获得答案.
解答:解:﹣2x2﹣8x﹣10
=﹣2(x2+4x+5)
=﹣2(x2+4x+22﹣22+5)
2
=﹣2[(x+2)+1]
因为当x取随意实数时,代数式2(x+2)2的值必定是非负数,那么﹣2(x+2)2﹣2
的值必定为负数,因此,原式的值恒小于0,并且,当x=﹣2时,原式有最大值﹣2.
评论:
确配方.
,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个对于此多项式的描绘:
甲:这是一个三次三项式;
乙:三次项系数为1;
丙:这个多项式的各项有公因式;
丁:这个多项式分解因式时要用到公式法;
若已知这四位同学的描绘都正确,请你结构一个同时知足这个描绘的一个多项式.
考点:提公因式法与公式法的综合运用.
专题:开放型.
剖析:能用完整平方公式分解的式子的特色是:三项;两项平方项的符号需同样;有一项为哪一项
两底数积的2倍.
解答:解:由题意知,能够理解为:
甲:这是一个对于x三次三项式;
乙:三次项系数为1,即三次项为x3;
丙:这个多项式的各项有公因式x;
丁:这个多项式分解因式时要用到完整平方公式法.
故多项式能够为x(x﹣1)2=x(x2﹣2x+1)=x3﹣2x2+x.
评论:本题考察了提公因式法和公式法分解因式,是开放性题,.
,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2(x﹣1)
x﹣9),而乙同学看错了常数项,而将其分解为2(x﹣2)(x﹣4),请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解.
考点:因式分解的应用.
剖析:本题能够先将两个分解过的式子复原,再依据两个同学的错误得出正确的二次三项式,最后进行因式分解即可.
解答:解:2(x﹣1)(x﹣9)=2x2﹣20x+18,2(x﹣2)(x﹣4)=2x2﹣12x+16;因为甲同学因看错了一次项系数,乙同学看错了常数项,
则正确的二次三项式为:2x2﹣12x+18;
再对其进行因式分解:2x2﹣12x+18=2(x﹣3)2.
评论:本题考察了因式分解的应用,题目较为新奇,同学们要仔细对待.
(x2+6x+10)(x2+6x+8)+1分解因式的过程:
解:设x2+6x=y,则
原式=(y+10)(y+8)+1
=y2+18y+81
=(y+9)2
=(x2+6x+9)2
1)回答以下问题:这位同学的因式分解能否完全?若不完全,请你直接写出因式分解的最后结果:(x+3)4.
2)模拟上题解法,分解因式:(x2+4x+1)(x2+4x﹣3)+4.
考点:因式分解-十字相乘法等.
专题:换元法.
剖析:(1)依据x2+6x+9=(x+3)2,从而分解因式得出答案即可;
2):解:(1)这位同学的因式分解不完全,
原式=(y+10)(y+8)+1
2
=y+18y+81
=(y+9)2
=(x2+6x+9)2
故答案为:(x+3)4;
2)设x2+4x=y,则
原式=(y+1)(y﹣3)+4
=y2﹣2y+1
=(y﹣1)2
=(x2+4x﹣1)2.
评论:本题主要考察了因式分解法的应用,正确分解因式以及注意分解因式要完全是解题重点.
11.(1)写一个多项式,再把它分解因式(要求:多项式含有字母
m和n,系数、次数不
限,并能先用提取公因式法再用公式法分解).
(2)阅读以下分解因式的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]①
=(1+x)2(1+x)②
=(1+x)3③
①
上述分解因式的方法是
提公因式法分解因式
,由②到③这一步的依据是
同底数幂
的乘法法例
;
②
若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2++x(x+1)2006,结果是
(1+x)2007;
③
分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2++x(x+1)n(n为正整数).
考点:因式分解-提公因式法.
剖析:(1)依据题目要求能够编出先提公因式后用平方差的式子,答案不独一;
(2)第一经过分解因式,可发现①中的式子与结果之间的关系,依据所发现的结论可直接获得答案.
解答:解:(1)m3﹣mn2=m(m2﹣n2)=m(m﹣n)(m+n),
2)①提公因式法,同底数幂的乘法法例;
②依据①中可发现结论:(1+x)2007;
③(1+x)n+1.
评论:本题主要考察了因式分解法中的提公因式法分解因式,公式法分解因式以及分解因式得依据,考察同学们的察看能力与概括能力.
:
因为(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,因此,对于二次项系数为
1的二次三项式
x2+px+q的
因式解,就是把常数项
q分解成两个数的积且使这两数的和等于
p,即假如有
a,b两数满
a﹒b=a+b=p,则有
x2+px+q=(x+a)(x+b).
如分解因式x2+5x+6.
解:因为2×3=6,2+3=5,
因此x2+5x+6=(x+2)(x+3).
2
解:因为﹣6×1=﹣6,﹣6+1=﹣5,
因此x2﹣5x﹣6=(x﹣6)(x+1).
同学们,阅读完上述文字后,你能达成下边的题目吗?试一试看.
因式分解:(1)x2+7x+12;(2)x2﹣7x+12;(3)x2+4x﹣12;(4)x2﹣x﹣12.
考点:因式分解-十字相乘法等.
专题:阅读型.
剖析:发现规律:二次项系数为
1的二次三项式x2+px+q的因式解,就是把常数项
q分解成
两个数的积且使这两数的和等于
p,则x2+px+q=(x+a)(x+b).
解答:解:(1)x2+7x+12=(x+3)(x+4);
2)x2﹣7x+12=(x﹣3)(x﹣4);
3)x2+4x﹣12=(x+6)(x﹣2);
4)x2﹣x﹣12=(x﹣4)(x+3).
评论:本题考察十字相乘法分解因式,是x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解的应用,应识
2