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第四讲排列组合
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1、分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法;在第2类方案中有n种不同的方法,那么完场这件事共有m+n种不同的方法。
2、分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,在第1步有m种不同的方法;在第2步有n种不同的方法,那么完场这件事共有种不同的方法。
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1、组合:中取个,记作
(1)
(2)阶乘:
(3)
(4)
2、排列:
(1)全排列:将个数全排列,记
(2)
(3)中取个,并将个数全排列:
三、二项式定理:
1、二次项系数之和:
2、展开式的第项:
例题1:的展开式中的常数项是()
A、6B、4C、-4D、-6
例题2:在二项式的展开式中,含的项的系数是()
A、-20B、-3C、6D、20
★随堂训练:
1、在二项式的展开式中,含的项的系数是()
A.-10B、10C、-5D、5
2、的展开式中的常数项是()
A、5B、-5C、10D、-10
3、在二项式的展开式中,含的项的系数是()
A、45B、90C、135D、270
4、已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则的值为()A、1B、C、2D、
5、的展开式中,的系数等于。
6、的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中常数项为。
7、展开式中常数项是70,则。
8、若展开式中常数项为-40,则。
四、排列组合题型汇总
(一)解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
(1)认真审题弄清要做什么事
(2)怎样才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
(3)确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
(4)解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略
(二)题型演练:
1、特殊元素和特殊位置优先策略
,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有
然后排首位共有
最后排其它位置共有
由分步计数原理得
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件<br****题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?
2、相邻元素捆绑策略
,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.
解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种
要求某几个元素必须排在一起的问题,,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
练****题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20
3、不相邻问题插空策略
,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有种
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
练****题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为30
4、定序问题倍缩空位插入策略
,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法,其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法,则共有种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插
空模型处理
练****题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?
5、重排问题求幂策略
,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:,由分步计数原理共有种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种
练****题:
,,那么不同插法的种数为42
,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
6、环排问题线排策略
,共有多少种坐法?
解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1)!种排法即!
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!
练****题:6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈120
7、多排问题直排策略
,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
练****题:有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是346
8、元素相同问题隔板策略
,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?
解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有种分法。
将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为
练****题:
,每盒至少一有多少装法?
9、正难则反总体淘汰策略
,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种?
解:这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。再淘汰和小于10的偶数共9种,符合条件的取法共有
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
练****题:我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
10、平均分组问题除法策略
,每堆2本共有多少分法?
解:分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。
练****题:将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法?()