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等差数列
等比数列
典型题
定义
n∈,
d为常数,叫公差
n∈
q为常数,叫做公比
等差数列的通项公式为an=8n+1,则a1=,d=.
已知等差数列{an}中,a3=-1,S6=0,则an= .
在等比数列{an}中,a1=-,a4=,则an=.
等比数列{an}中,若a3=2,a6=54,则
a5=.
通项
公式
n∈
n∈
前n项
和公式
,
,=(q≠1),
当q=1时,
中项
a、A、b成等差数列,A叫做a、b的等差中项.
或2A=a+b
a、G、b成等比数列,G叫做a、b的等比中项.
G2=ab(G=±)
两个数的等差中项是10,等比中项是6,则这两个数是()
,18 ,,9 ,12
与的等差中项为,等比中项为.
解题
技巧
①三个数成等差数列,一般设为:
a-d,a,a+d.
②等差数列问题,常转化为求其首项a1和公差d.
①三个数成等比数列,一般设为:,a,aq.
②等比数列问题,常转化为求其首项a1和公比q.
有三个数成等比数列,和为21,积为216,则这三个数为.
有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数的和是7,中间两数的和是6,求这四个数.
判定
方法
n∈N+
①定义法:若,d为常数,则数列是等差数列;
②等差中项法:2=+
③=kn+b(k、b是常数);
④=An2+Bn(A、B是常数)
①定义法:若,则数列是等比数列;
②等比中项法:
若,则数列是等比数列.
在数列{}中,已知2-2=+,其中>0,n∈N*.
1)求证数列{}是等差数列;
2)若=1,求和S5.
已知数列{an}的前n项和是Sn=5n2-n
则a6+a7+a8+a9+a10=.
等差数列
等比数列
典型题
特
殊
性
质
an=am+(n-m)d
a=aqn-m(m,n∈N+)
在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=250,则a2+a8=.
在等差数列{an}中,a2+a5+a12+a15=36,则S16=.
等差数列{an}中,a6=20,则S11=.
等比数列{an}中,a3·a5=100,则a4=.
数列{an}为等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5=.
若,则.
若m+n=p+q,则a·a=ap·aq;
每隔k项(k∈N+)取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍是等差数列.
每隔k项(k∈N+)取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍是等比数列.
在等差数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等差中项.
在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项.
当d=0时,该数列为常数列.
当q=1时,该数列为常数列.
任意两个数都有等差中项,等差中项只有一个.
只有同号的两个数才有等比中项,等比中项有两个.
-2与6的等比中项,等差中项为,
3、数列的一些性质:
性质
典型题
对任意数列,都有:=
数列-,,-,,…的通项公式为.
若{an}中Sn=n2,则an=,
a4+a5+a6+……+an=.
任意数列的前n项和:(n∈)
等比数列的一些性质
①≠0,q≠0对n∈N+,≠0;
②q<0是摆动数列;
③<0或>0q>0;
④G2=ab仅是a、G、b成等比数列的必要条件,=a=b=0.
已知等比数列{an}中,an>0,a1a3+2a2a4+a3a5=36,则a2+a4=.
等比数列{an}中,an>0且4an=an+2,那么这个数列的公比是.
.±2D.-2