文档介绍：该【矩阵秩与向量组秩的关系】是由【niuww】上传分享，文档一共【19】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【矩阵秩与向量组秩的关系】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。按行分块得到
将该矩阵按列分块得到
称为A的行向量组
称为A的列向量组
定义9矩阵A的行向量组的秩成为A的行秩,A的列向量组的秩称为A的列秩。
矩阵A的秩与其行秩和列秩有什么关系呢?
先看一个例子
此矩阵为具有4个非零行的B-型矩阵
显然B的列向量组
线性无关,并且
故
是B的列向量组的极大无关组。
B的列秩=B的秩=r
一般的,对有r个非零行的B-型阶梯型矩阵,有
B的列秩=B的秩=4
引理设矩阵A经过行初等变换化为B,分别记为:
之间有完全相同的线性关系,即
则A的列向量组与B的列向量组
当且仅当
证因为矩阵A经过行初等变换化为B,A的列向量组与B的列向量组等价,也就是说齐次线性方程组AX=0与BX=0同解,即
有相同的线性相关性。
于是知列向量组
与
同解
与
定理5矩阵的秩等于它的行秩,也等于它的列秩。
证设矩阵
B是与之对应的B-型阵
设A的r阶非零子式
下证A的列向量组的秩为r
所在的r列构成的
矩阵为
显然
即B的r个列向量线性
无关,而A的任意r+1列所构成的矩阵的秩小于等于
所以A的任意r+1
列向量线性相关,因此,B的r个列向量为矩阵A的列向量组的极大无关组。所以A的列秩等于r。