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本章将介绍n维向量的基本概念及其运算,讨论n维向量的线性相关性,并利用矩阵的秩与有关知识来研究向量组的线性相关性。这些都是线性代数和近代数学中的最基本概念和基本性质,并为学****后面的内容提供了必要的预备知识。
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在空间(或平面)解析几何中,从有向线段出发,引进了向量的概念,并进一步引进了向量的加法和数
乘向量的运算;另外,在空间中引进笛卡尔坐标系后,空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对应关系。所以,由所有三维数组构成的集合
即代表了点空间,也代表了三维向量空间。因而,点空间的许多几何性质,例如点的共线、共面,直线和平面的平行、相交等等,都可以用向量空间的语言来刻划。
一、n维向量空间的概念
几何空间中:
点P的坐标
n维向量空间(Rn):
n维向量:(有序数组)
n维行向量
的分量
n维列向量:
实(复)向量:
分量为实(复)数
确定飞机的状态,需
要以下6个参数:
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
机身的水平转角
机身的仰角
机翼的转角
所以,确定飞机的状态,需用6维向量
n维向量的实际意义
=ai=bi
=(0,0,…,0)
负向量:-=(-a1,-a2,…,-an)
n维向量的线性运算: =(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn),
+=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn), k•=(ka1,ka2,…,kan),kR.
向量相等:=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn)
零向量:
Rn:n维向量的全体.
线性方程组与n维向量的线性运算:
定义若
则称V是Rn的一个子空间.
例1设V={(x1,x2)|x1+x2=0},V是否是R2的子空间?
例2设V={(x1,x2)|x1+x2=1},V是否是R2的子空间?
二、Rn的子空间
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这一节,进一步来研究向量之间的关系,即线性关系。在讨论向量之间的关系时,所涉及到的向量都是n维的,即有相同的维数。两个向量之间最简单的关系是成比例。所谓向量α与β成比例就是说:有一个数k,使α=kβ把成比例的关系推广到多个向量之间,成比例关系表现为线性组合:
一、向量组的线性组合
二、向量组的线性相关性
向量组:同维数的向量所组成的集合.
向量组与矩阵:
例如
向量组,,…, 称为矩阵A的行向量组.
反之,由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.