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兰州九中姜旭东
教学目的:
知识和技能 :
1、利用物理中功的概念理解平面向量数量积的物理背景,理解向量的数量积概念及几何意义;可以运用这一概念求两个向量的数量积,并能根据条件逆用等式求向量的夹角;(精品文档请下载)
2、掌握由定义得到的数量积的5条重要性质,并能运用性质进展相关的判断和运算;
3、理解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,培养学生的应用意识.
过程和方法:
(1)在学****和运用向量的数量积的过程中,进一步体会平面向量本质及它和生活和自然科学联络,认识事物的统一性,并通过学****向量的数量积感受数形结合的思想方法;(精品文档请下载)
(2)培养学生数形结合的思想方法和分析问题、解决问题的才能及钻研精神,培养学生的运算才能、严谨的思维****惯和解题的标准性。(精品文档请下载)
(3)通过对向量的数量积的探究、交流、总结,从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用,不断从感性认识进步到理性认识,。(精品文档请下载)
学****重点:平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题)
学****难点:平面向量的数量积和向量投影的关系;运算律的理解和平面向量数量积的应用.
教学方法:探究、精讲
学****方法:自主、合作探究学****法
学****过程:
回忆复****向量的夹角:
两个非零向量夹角的概念:非零向量和,作=,=,那么∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫和的夹角(两向量必须是同起点的)(精品文档请下载)
特别地:当θ=0时,和同向;当θ=π时,和反向;
当θ=时,和垂直,记⊥;
物理问题:一个物体在力的作用下产生的位移,那么力F所做的功应当怎样计算?
结论:功是一个标量,功是力和位移两个向量的大小和夹角余弦的乘积
启示:能否把“功"看成是力和位移这两个向量的一种运算的结果呢?
平面向量的数量积的定义
1、定义:两个非零向量和,我们把数量叫做和
的数量积(或内积),记作,即。其中是和的夹角(0≤θ≤π)
说明:(1)两向量的数量积是一个数量,而不是向量,符号由夹角决定。
(2)记法“·"中间的“·”不可以省略,也不可以用“”代替。
问题1:向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负?
问题2:向量的数量积运算和同向量的线性运算的结果有什么不同?
向量的线性运算的结果是向量,两向量的数量积是一个实数,是一个数量。
问题3:设和都是非零向量,时,等于多少?反之成立吗?
问题4:当和同向时,等于多少?当和反向时,等于多少?
特别地,等于多少?
当和同向时,;当和反向时,
问题5:和的大小关系如何?为什么?
问题6:对于和,如何求他们的夹角?
2、向量数量积的性质
以上五条
二、平面向量数量积的几何意义
(1)向量投影的概念:如图,我们把叫做向量在方向上的投影;叫做向量在方向上的投影。
说明:(1)
作图:
当为锐角时投影为正值当为钝角时投影为负值当q=90°时投影为0
当q=0°时投影为||;当q=90°时投影为0;当q=180°时投影为-||
(2)投影是一个数量,不是向量.
向量的数量积的几何意义:数量积·等于的长度︱︱和在的方向上的投影︱︱cos的乘积。
(2)向量的数量积的几何意义:数量积·等于的长度︱︱和在的方向上的投影︱︱cos的乘积。
三、数量积的运算律
交换律
对数乘的结合律
分配律
运算律(2)和(3)的证明下节给出
课堂小结:
1、向量的数量积的定义
2、向量数量积的性质
3、向量数量积的几何意义
4、数量积运算律
作业布置
课后反思