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第卷第期数学进展口】.
年月.
, 随机分形//
一√
胡迪鹤刘禄勤肖益民吴军赵兴球
武汉大学教学系,武汉, 湖北.
摘要本文概括了随机分形的主要结果,综述了随机分形的最新进展和目前的动态,提出
了一些未解决的问题全文共分为三部分:由随机过程和随机场如过程,
场,自相似过程等产生的各种随机分形集如象集、水平集、重点集等的维
数、测度和维数、测度随机型集和统计自相似集的维数和测度;
分形集如, 等上随机过程的构造和性质
关键词分形;随机分形;随机过程;维数测度函数
引言
随着的专著。的问世,分形几何在许多学科领域得到了越来越广泛
、湍流、物理学、生物学、化学、甚至经济学中的现象
的数学模型时,,这类模型总要依赖于某种
, 在建立地理现象、湍流的数学模型时,就采用了多
参数运动,这使得人们对随机分形的研究更感兴趣,国内外学者在有关方面
已做了大量的研究工作.
本文介绍近年来国内外学者在随机分形方面的研究成果、发展动态及存在的主要问
题全文包括四方面内容:维数关系,随机过程样本轨道的分形性质—.一般随
机分形集和分形集上的随机过程.
随机过程样本轨道性质的研究可以追溯到年代的工作,从年代
发表一系列研究运动的象集、图集、水平集的维数及测度的论文
等来已取得了大量的研究成果, 和、分别作过非常好
,
先给出研究对象及主要问题,
给定,,,上取值于中的随机过程∈也称为,随机场,可以自
然地派生出许多随机集合,例如:象集, ,:∈研;图集
￡:∈;逆象集∈: ∈;水平集
￡∈:; 重点集∈:互不相同的,⋯,∈使
得一; 重时集: 一、∈:,一互不相同,使
收稿日期: —.醪改稿: —
国家自然科学基金、青年基金、国家教委博士点基金及留学回国人员科研资助的项目
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数学进展卷
一
:
的维数、维数,
的适当测度函数和测度函数,
一致维数测度问题:∈时, 、
中的关系对任意或成立.
在分形几何中许多重要而熟知的分形集是由迭代方法生成的如自相似集等若在
迭代程序中加入随机因素,,

型及结果.
物理学中无序介质性质的研究,导致了近几年来分形上随机过程研究的兴起,分形
上随机过程的研究主要是构造分形集上随机过程,并研究其概率属性及有关随机分形的
,我们介绍国内外这方面的研究工作.
关于测度、测度及几种常用维数的定义,参见【、【】、【、【】
我们用表示所有测度函数所成的类:用、分别表示的、
维数;用、一分别表示的一测度和一删
度和“证明了对任意,.
关于维数和维数的估计方法在『
过密度定理或容度的方法进行估计关于维数上界的估计,通常用连续性等方法