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第一讲有理数
思想导图
重难点剖析
要点剖析:
回首从前学过的对于“数”的知识,进一步理解自然数、分数的产生和发展的实质背景,
经过学生身旁的例子体验自然数与分数的意义和在它们计数、丈量、排序、编码等方面的应
用.
,理解正数、负数的观点,理解有理数产生的必定性、合理性.
有理数的分类:按有理数的整分性能够分为整数和分数;按有理数的正负性能够分为正有理数、负有理数和零.
难点剖析:
分数都能够化为小数,有些小数(有限小数和无穷循环小数)能够化为分数.
:一是它们的意义要相反;二是它们都拥有数目(一定是同一
类量,数目大小能够不相等).
例题精析
例1、判断:
行进和退后是两个拥有相反意义的量;
零上6℃的相反意义的量只有零下6℃;
收入50万元和损失20万元是两个拥有相反意义的量;
(4)
上升100元和降落50点是两个拥有相反意义的量.
思路点拨:先判断意义能否相反,再看是不是有数目.
解题过程:(1)行进和退后拥有相反意义,但没有数目,所以错误.
(2)
相反意义的量中数目能够不相等,所以错误.
(3)
收入和支出才拥有相反意义,所以错误.
(4)
相反意义的量中数目一定是同一类量,
100元和50
点不是同一类量,所以错误.
方法概括:判断是不是相反意义的量时要抓住两个因素:
一是它们的意义要相反;
二是它们
都拥有数目(一定是同一类量,数目大小能够不相等).
易错误区:注意(3)中收入的相反意义是支出,损失的相反意义是盈余,不要混杂.
例2、火车票上的车次号有两个意义,一是数字越小表示车速越快,1~98次为特快列车,
101~198次为直快列车,301~398次为普快列车,401~498次为普客列车;二是单数与双数表示不一样的行驶方向,此中单数表示从北京开出,双数表示开往北京,依据以上规定,龙
岩开往北京的普快列车“海西号”的车次号可能是().
思路点拨:依据普快列车的车次号在301~398之间,开往北京的列车车次号为双数作答.
参照答案:D
方法概括:本题是资料题,要认真阅读所给信息,才能得出正确的结论.
易错误区:解题时要把火车票车次号的两个意义相联合.
例3、(1)已知4个矿泉水空瓶能够换矿泉水一瓶,现有15个矿泉水空瓶,若不交钱,最多
能够喝瓶矿泉水;
师生共52人出门春游,抵达后,班主任要给每人买一瓶矿泉水,给了班长买矿泉水的钱.
班长到商铺后,发现商铺正在进行促销活动,规定每
5
瓶矿泉水,就能够保证每人一瓶.
思路点拨:(1)看15里面有几个4,再看余下的空瓶包含几个
4,把个数相加即可;(2)因为
5个空瓶=1个空瓶+1瓶的水,可知
4个空瓶能够换1瓶的水,所以花4
瓶的钱能够喝到5
瓶水,所以花40瓶的钱能够喝到
50瓶水,还差
2瓶单买.
解题过程:(1)15÷4=33,可先换3瓶矿泉水,喝完后还剩
3+3=6个空瓶,取出4个空
瓶换一瓶矿泉水,还剩3个空瓶,找人借一个空瓶凑齐
4个空瓶换一瓶矿泉水,喝完还剩一
个空瓶再把这个空瓶还给那个人,故最多能够喝
5瓶矿泉水.
(2)52÷5=10组2瓶;4×10+2=42瓶.
答:班长只需买42瓶矿泉水,就能够保证每人一瓶.
方法概括:本题考察的知识点是推理与论证,要点要抓住“
5个空瓶可换
1瓶矿泉水”这个
条件,得出“4个矿泉水空瓶能够换矿泉水一瓶”这一结论,而后再列式计算
.
易错误区:换来的矿泉水喝完又是空瓶,能够持续换.
例4、分子为
1的分数叫做单位分数
.早在三千多年前,古埃及人就利用单位分数进行书写
.比如:
3
1
2
1
2
1
1
2
4
1
3
1
3
1
1
4
4
4
4
4
2
;
6
6
6
6
6
.
3
2
(1)
模拟上例分别把分数
5和3拆分红两个不一样的单位分数之和.
8
5
5=
;3=
;
8
5
(2)在上例中,
3
1
1
,又因为
1
3
12
1
2
11
,所以
3
111
,
44226666634463
即3能够写成三个不一样的单位分数之和
.依照这样的思路,它也能够写成四个,甚至五个不
4
5能写出哪些两个以上的不一样的单位分数之
同的单位分数之和
.依据这样的思路,研究分数
和.
8
思路点拨:(1)
由单位分数的意义可知将一个分数拆分为几个不一样的单位分数之和,就是利
用同分母分数的加法或约分的性质,
把这个分数拆成两个同分母分数,
使此中一个分子是
1,
另一个分数分子能整除分母;
(2)只需依据单位分数的转变方法,把此中的一个单位分数利
用分数的性质持续拆分即可.
解题过程:(1)
5
1
4
1
1,3
6
1
5
1
1
.
8
8
8
2
5
10
10
10
2
(2)5
1
1
1,5
1
1
1,5
1
1
1
1
.
8
8
6
3
8
24
12
2
8
8
6
12
4
方法概括:本题考察了分数性质的灵巧应用、
同分母分数的相加以及约分方法,
也考察了学
生的察看能力.
易错误区:分子为1
的分数叫做单位分数,最大的单位分数是
1
,
1是整数,不是分数.
21
例5、已知有A,B,C三个数集,每个数集中所含的数都写在各自的大括号内,请把这些
.{-5,,-9,7,}
B.{-,,-5,,-1}
7
C.{,-,10,7}
思路点拨:由已知察看,先找出三个数集同样的数,再找出每两个数集同样的数,把同样的
数分别填入公共部分.
解题过程:
经过察看,A,B,,
A,B数集都含有-5,
A,C数集都含有7,
B,C数集都含有-.
方法概括:本题主要考察学生对数集的理解与应用.
易错误区:每个数在图中只好出现一次,多个数集都有的数要填在公共部分.
例6、把以下各数填入相应的数集内:
-100,+12,31,-
2,,68,-10%,0,18‰,-2
1,,·5·,π.
3
7
4
正有理数集:负有理数集:整数集:{分数集:{
{};
{};
};
};
自然数集:{};
非负数集:{}.
思路点拨:依照有理数的分类进行判断:有理数包含:整数和分数或许正有理数、负有理数
和零;整数包含:正整数、0和负整数;分数包含:正分数和负分数;自然数包含:零和正
整数.
解题过程:正有理数集:
{+12,3
1,,68,18‰,
,·5·,};
3
负有理数集:
{-100
,-
2,-10%,-2
1,};
7
4
整数集:
{-100
,+12,68,0,,};
分数集:
{3
1,-
2,
,-10%,18‰,
-2
1,·5·,};
3
7
4
自然数集:
{+12,68,0,,};
非负数集:
{+12,31,,68,0,18‰,
,·5·,π,}.
3
方法概括:本题考察了有理数的观点,认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有
理数、,注意0是整数,但不是正数
.
易错误区:π是无穷不循环小数,不可以转变为分数,所以它既不是分数,也不是有理数
.
研究提高
例、请依据各数之间的关系,找规律填空.
思路点拨:(1)察看图形中的数字可知:(9+6)×1=15;(6+7)×4=52;(5+8)×3=39;由此可
得,每个三角形中:(上边的数字+左下的数字)×右下的数字=中间的数字;(2)依据图形中的数字可知:中间的数字=上下数字之差;左边的数字=中间的数字×右边的数字;由此即可解答;(3)察看每组图形中的三个数字特色可知:下面的数字由三部分构成:最左边的数字
是右上方的数字十位上的数字;最右边的数字是左上方的数字个位上的数字;中间的数字是
左上方的数字十位上的数字与右上方的数字个位上的数字之和,由此即可解答.
解题过程:①(11+3)×2=?=28.
61-56=5,5×3=?=5,△=15.
③最左边数字是6,最右边数字是8,中间数字是1+1=2,?=628.
方法概括:,是依照什么规律变化的,经过剖析找到各部分的
变化规律后直接利用规律求解.
易错误区:规律确实定往常起码要三个特例,从一个或两个特例中总结出的结论不必定正确,
所以概括出的一般结论要查验,使每一个特例都知足规律.
专项训练
拓展训练
组
略
组
略
走进重高
略
2.【台湾】在1~45的45个正整数中,先将45的因子所有删除,再将剩下的整数由小到大
摆列,求第10个数为().
3.【金华】有四包真空小包装火腿,每包以标准克数(450g)为基数,超出的克数记作正数,
不足的克数记作负数,以下数据是记录结果,此中表示的实质克数最靠近标准克数的是
().
A.+2B.-3C.+3D.+4
略
略
略
7.【仙游】有一口9m深的水井,,蜗牛白日向上
爬2m,夜晚向下滑1m;乌龟白日向上爬3m,,蜗牛距井
口m.
高分夺冠
略
略
(少于4
个空瓶则不可以换),花城中学买了1999瓶五羊牌矿泉水,假如尽可能把空瓶拿去换矿泉水,
那么花城中学师生一共能喝上瓶矿泉水;反过来,假如一共能喝上3126瓶矿泉水,
那么最初应当买了瓶矿泉水.
,B,C,D四站抵达终点,途中上下乘客以下表所示.(用正数表
示上车的人数,负数表示下车的人数)
起点ABCD终点
上车的人数
18
15
12
7
5
0
下车的人数0-4-5-9-12
到终点下车还有多少人?填在表格相应地点;
(2)
车行驶在哪两站之间车上的乘客最多?
站和
站;
(3)
若每人乘坐一站需买票
,问该车出车一次能收入多少钱?要求写出算式.
第二讲数轴和绝对值
思想导图
重难点剖析
要点剖析:
1.
数轴的三因素:原点、单位长度、正方向.
2.
理解有理数能够用数轴上的点表示,数轴上的点不必定表示有理数
.
3.
相反数:实数a与-a互为相反数,零的相反数还是零
.若a,b互为相反数,则
a+b=0.
4.
倒数:若两个实数的乘积为
1,就称这两个实数互为倒数,零没有倒数.
5.
绝对值的几何意义:表示这个数到原点的距离.
6.
比较有理数大小的两种基本方法:利用数轴比较大小;利用法例比较大小
.
难点剖析:
1.
数轴波及数和形两个方面,是解决很多半学识题的重要工具
.
2.
绝对值拥有非负性,去绝对值问题常常会波及较复杂的符号问题
.
例题精析
例1、以下所画的数轴正确的有().
条
条
条
条
思路点拨:利用数轴的观点和三因素(原点,正方向和单位长度)来判断正误.
解题过程:第一条数据次序不对,错误;第二条正确;第三条没有正方向,错误;
第四条刻度不平均,.
方法概括:本题主要考察了数轴的三因素:原点、
易错误区:数轴的单位长度能够依据实质需要选用.
.
例2、数轴上点A,B的地点以下图,若点B对于点A的对称点为C,则点C表示的数
为.
思路点拨:点A表示的数是-1,点B表示的数是3,所以|AB|=4;点B对于点A的对称点为C,所以点C到点A的距离|AC|=,则-1-x=4,解出x即可求得点
C表示的数.
解题过程:如图,点A表示的数是-1,点B表示的数是3,所以|AB|=4.
又点B对于点A的对称点为C,所以点C到点A的距离|AC|=4.
设点C表示的数为x,则-1-x=4,解得x=--5.
方法概括:因为引进了数轴,我们把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”联合起来,
两者相互增补,相辅相成,把好多复杂的问题转变为简单的问题,在学****中要注意培育数形
联合的数学思想.
易错误区:数轴上两点间的距离是表示这两个点的数的差的绝对值.
例3、已知数轴上A,B两点分别为-3,-6,若在数轴上找一点
找一点D,使得B与D的距离为1,则以下()不行能为C与
C,使得A与
D的距离.
C的距离为
4;
思路点拨:将点
A,B,C,D在数轴上表示出来,而后依据绝对值与数轴的意义计算
CD的长
度.
解题过程:依据题意,点C与点D在数轴上的地点以下图:
在数轴上使AC的距离为4的点C有两个:C1,C2,
数轴上使BD的距离为1的点D有两个:D1,D2,
∴C与D的距离为:①C2D2=0;②C2D1=2;③C1D2=8;④C1D1=6.
综合①②③④,知C与D的距离可能为:0,2,6,8.
应选C.
方法概括:本题综合考察了数轴,绝对值的有关内容,用几何方法借助数轴来求解,特别直
观,且不简单遗漏,表现了数形联合的长处.
易错误区:在数轴上找一点C,使得A与C的距离为4,知足这个条件的点A有两个;同理
找一点D,使得B与D的距离为1,知足条件的点D也有两个,注意不要遗漏.
例4、如图,数轴上标出了7个点,相邻两点之间的距离都相等,已知点A表示-4,点G表
示8.
(1)
点B表示的有理数是
,表示原点的是点是
;
(2)
图中的数轴上还有点
M到点A、点G距离之和为
13,则这样的点
M表示的有理数
是
;
(3)
若相邻两点之间的距离不变,将原点取在点
D,则点C表示的有理数是
,此时
点B与点
表示的有理数互为相反数.
思路点拨:(1)先依据数轴上两点之间的距离公式求出点A到点G的距离,再求出相邻两点
之间的距离即可解答;(2)设点M表示的有理数是m,依据数轴上两点之间距离的定义即可求出m的值;(3)依据两点间的距离是2可求出C点坐标,再依据相反数的定义即可求出结
论.
解题过程:(1)∵数轴上标出了7个点,相邻两点之间的距离都相等,已知点A表示-4,点
G表示8,∴AG=|8+4|=12.
∴相邻两点之间的距离=12=2.
6
∴点B表示的有理数是-4+2=-2,点C表示的有理数-2+2=0.
故答案为:-2;C.
设点M表示的有理数是m,则|m+4|+|m-8|=13,
∴m=-=.
故答案为:-.
(3)若将原点取在点D,
∵每两点之间距离为2,
∴点C表示的有理数是-2.
∵点B与点F在原点D的双侧且到原点的距离相等,
∴此时点B与点F表示的有理数互为相反数.
故答案为:-2;F.
方法概括:本题考察的是数轴的特色及数轴上两点之间距离的定义,熟知数轴上两点之间距
离公式是解答本题的要点.
易错误区:第(2)题中A,G两点间的距离为12,所以数轴上到点A、点G距离之和为13的
点M在线段AG外,这样的点有两个.
例5、已知|a+|+|b-9|+|c-|=0,求ab+c的值.
思路点拨:依据非负数的性质可求出a,b,c的值,再将它们代入ab+c中求解即可.
解题过程:∵|a+|+|b-9|+|c-|=0,
∴a+=0,b-9=0,c-=0.
∴a=-,b=9,c=.
∴ab+c=-×9+=-18.
方法概括:非负数的性质:有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零.
易错误区:只有当若干个非负数相加等于零时,才能得出每个非负数都同时为零.
研究提高
例、察看以下每对数在数轴上的对应点之间的距离4与-2,3与5,-2与-6,-4与3,回答
以下各题:
(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答:;
若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为―1,则点A与点B两点间的距离能够表
示为;
(3)联合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为,获得最小值时x的取值范围
为;
(4)知足|x+1|+|x+4|>3的x的取值范围为.
思路点拨:(1)经过察看简单得出结论;(2)在数轴上找到点B所在的地点,点A能够位于数
轴上的随意地点,分三种状况进行分类议论;(3)(4)依据(2)中的结论,利用数轴剖析.
解题过程:(1)相等.
联合数轴,分以下三种状况:
当x≤-1时,距离为-x-1