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一、知识点
(1)平面向量的观点及线性运算
平面向量两因素:大小,方向。
零向量:记作0,手写时记做0,方向不确立。单位向量:模为1的向量。
平行的向量(共线向量):方向同样或
D
C
相反的两个非零向量,
记
作
A
B
图2
B
a
a
b
b
A
+
C
ab
a
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
图1
a
a
AB
BC
AC
AB
BC
AC
a-b
A
B
b
a
O
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
图3
AB
AD
ABBC
AC
AC
AB
AD=OA
OBOA
OBBA
|
a||
||a||a|
0a∥b
a
b
线性组合:一般地,
a+
b叫
做a,
b

l=
a+
b
,则称l能够用a,b线性表示.
(2)平面向量的坐标表示
设点A(x1,y1),B(x2,y2)
,则起点为A(x1,y1),终点为B(x2,y2)的向量坐标为
uuur
(x2
x1,y2
y1).
AB
设平面直角坐标系中,
a
(x1,y1),b
(x2,y2)
,则
ab(x1x2,y1
y2)
ab(x1
x2,y1
y2)
a(x1,
y1)
由此获得,对非零向量
a、b,设a
(x1,y1),b
(x2,y2),
若a∥b
ab
当
0时,a∥b
x1y2x2y1
0.
(3)平面向量的内积
向量a与向量b的夹角,记作<a,b>。

a,b
0o,180o
内积的定义:两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量
a与向量b的内积,
它是一个数目,
a·b,即a·b=|a||
b|cos<a,b>
结论:(1)cos<a,b>=a
b.
|a||b|
(2)当b=a时,有<a,a>=0,所以
a·a=|a||a|=|a|
2,即|a|=a
a
(3)当a,b
90o时,a
b,所以,a·b=a
bcos90o
0,
对非零向量a,b,a·b=0
a
b.
平面向量的内积的坐标表示:
设平面向量
a
=(
x
1,
y
1),
b
x
2,
y
2)
a
b
x
x
2+
=(
·=
1
y1y2
夹角公式坐标表示:当、是非零向量时,
cos<,
b
=ab
=
x1
x2
y1y2
ab
a
|a||b|
x12
y12
x22
y22
相互垂直的向量坐标表示:
ab
a·b=0
x
1x
2+y1y2
=0.
向量的模坐标表示:
设a=(x,y),则a
x2
y2
二、练****题

(
)
单位向量都相等
长度相等且方向相反的两个向量不必定是共线向量
若a·b=0,则a=0或b=0
关于随意愿量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|
,四边形
→
→
(
)
ABCD中,AB=DC,则相等的向量是
→
→
B.
→
→

OB与OD
→
→
D.
→
→

AO与OC
,正确的选项是
(
)
|a|=|b|,则a=b
=b,则a与b是平行向量
|a|>|b|,则a>b
,则向量a与b是不共线向量
→
→
,设O是正六边形ABCDEF的中心,在向量OB,OC,
→→→→→→
→
→→
OD,OE,OF,AB,BC,CD,EF,DE,FA中与
→
(
)
OA共线的向量有
个
个
个
个

=(
x
+3,
x
2-3-4)与→相等,此中
(1,2),(3,2),则
x
等于(
)
a
x
AB
A
B
C.-1

a
=(
,),=(-,)(
x
,不一样时为零),则,之间的关系是
(
)
x
y
b
yx
y
a
b

C.
垂直

,=,且·=
0,则四边形ABCD是
(
)

B.
菱形
C.
直角梯形
D.
等腰梯形
.已知向量a
b
,k
)
,a·
ab
,则k
=
(
)
8
=(2,1),
=(-1
(2
-
)=0
A.-12
a
B.-6
c

∥c,则
.已知向量
,
2)
,b
,
0)
,
=(3
,
4)
,若
为实数,
(
a
b
9
=(1
=(1
+
)
=(
)

4
2
b
10
.若向量a,b,c
知足a∥b且a⊥c,则c·(a
(
)
+2)=

11
.已知向量
a
=(1
,k
,b
,,且
ab与a共线,那么a·b的值为
(
)
)
=(2
2)
+

12
.设向量
a,b
知足
|
ab
,a·b
1
,则
ab
|=|
|=1
=-
2
|+2|=
(
)

、b不共线,实数
x、y知足向量等式
3
xa
+(10-)
b
=2
+(4
+4)
,则
x
=_____,
=_____.
y
xb
y
a
y
、c的夹角都是
60°,而b⊥c,且|a|=|b|=|c=1,则(a-2c)·(b+c)=
_____.
,
,b
,
,则
a·b等于
.
15
.若向量a
1)
2)
=(1
(-1
_____________
16
.设向量a,b知足
a
5
,b
,
1)
,且a与b
的方向相反,则a的坐标
|
|=2
=(2
为________.
17
.已知向量a
3,
1)
,b
=(0
,
-1)
,c
=(
k,
3
)
,若a
-2
b与c共线,则
=(
k
.
=__________
,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=___________.
三、解答题
°,|a|=10,|b|=8,求:
(1)|a+b|;(2)a+b与a的夹角θ的余弦值.
=(3,4),b=(4,3),c=xa+yb,且a⊥c,|c|=1,求x和y的值.
=(λ,2),b=(-3,5)且a与b的夹角是钝角,务实数λ的取值范围。
=(1,2),b=(1,-1),求2a+b与a-b的夹角。
|a|=|b|=1,a⊥b,且2a+3b与ka-4b也相互垂直,求k的值。