2012第四届全国大学生数学竞赛各赛区预赛(非数学类)试题及答案.pdf

文档介绍：第四届全国大学生数学竞赛预赛试题
(非数学类)参考答案及评分标准
一、(本题共 5 小题,每小题各 6 分,共 30 分)解答下列各题(要求写出重要步骤).
1
2
(1) 求极限 lim(n !) n ;
n→∞
⎧232xy+ −+= z 0
(2) 求通过直线 L : ⎨的两个相互垂直的平面π1 和π 2 ,使其中一个平面过点
⎩55430xyz+ −+=
(4,− 3,1) ;
∂2u
(3) 已知函数 zuxye= (, )ax+ by ,且= 0, 确定常数 a 和 b ,使函数 zzxy= (, )满足方程
∂∂xy
∂∂∂2 zzz
−−+=z 0 ;
∂∂xy ∂ x ∂ y
(4) 设函数uux= () 连续可微, u(2)= 1 , 且∫(2)()x +++y udx x u3 udy 在右半平面上与路径无关,
L
求 ux();
x+1 sin t
(5) 求极限 lim 3 x dt .
x→+∞∫x tt+ cos
解
11
ln(n !)
22
(1) 因为(!)nenn= ……………………………………(1 分)
1 1⎛⎞ ln1 ln 2 ln n ln n
而,且( 分)
2 ln(n !) ≤+++⎜" ⎟ lim= 0 ……………………… 3
nn⎝⎠12 nn→∞ n
1ln1ln2⎛⎞ lnn
所以 lim ⎜⎟+++=" 0 ,
n→∞ nn⎝⎠12
1
1 2
即 lim ln(n !)= 0 , 故 lim(n !) n =1 ……………………………………(2 分)
n→∞ n2 n→∞
(2)过直线 L 的平面束为
λ(2xyz+−++ 32)(5543)μ xyz + −+=0
即(25)(5)(34)(23)λ+++−+++=μλμλμλμxy z 0 ,…………………………(2 分)
若平面π1 过点(4,− 3,1) ,代入得λ+=μ 0 ,即μ= −λ,从而π1 的方程为
34xyz+−+= 10 , ……………………………………(2 分)
若平面束中的平面π 2 与π1 垂直,则
3(2⋅++⋅++⋅+λ 5μλμλμ) 4( 5 ) 1(3 4 ) = 0
解得λ=−3μ,从而平面π 2 的方程为 xyz− 253−+=0 ,………………………………(2 分)
∂∂zuax+ by ⎡⎤∂∂zuax+ by ⎡⎤
(3) =++eaux⎢⎥()y, =++ebuxy⎢(),⎥………………(2 分)
∂∂xx⎣⎦∂∂yy⎣⎦
2
∂∂∂zuuax+ by ⎡⎤
=++e⎢ b a abu(, x y ).⎥……………………………………(2 分)
∂∂xy⎣∂ x ∂ y ⎦
2
∂∂∂zzz ax+ by ⎡∂∂uu ⎤
−−+z =eb⎢(1)(1)(−+−+−−+ a ababuxy 1)(,)⎥,
∂∂xy ∂ x ∂ y ⎣∂∂xy ⎦
∂∂∂2 zzz
若使−−+=z 0, 只有
∂∂xy ∂ x ∂ y
∂∂uu
(1)(1)(b−+