文档介绍：第第第三三三届届届中中中国国国大大大学学学生生生数数数学学学竞竞竞赛赛赛赛赛赛区区区赛赛赛
试试试题题题参参参考考考答答答案案案
(数数数学学学类类类, 2011)
√√
一一一、、、(本题 15 分) 已知四点 A(1, 2, 7), B(4, 3, 3), (5, −1, 6), ( 7, 7, 0). 试求过这
四点的球面方程.
解解解答答答: 设所求球面的球心为(¯x, y,¯ z¯), 则
(¯x − 1)2 + (¯y − 2)2 + (¯z − 7)2
= (¯x − 4)2 + (¯y − 3)2 + (¯z − 3)2
= (¯x − 5)2 + (¯y + 1)2 + (¯z − 6)2
√√
= (¯x − 7)2 + (¯y − 7)2 +z ¯2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分)
即
−−
3¯x +y ¯ 4¯z = 10,
4¯x − 3¯y − z¯ = 4,
√√
( 7 − 1)¯x + ( 7 − 2)¯y − 7¯z = −20.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)
解得(¯x, y,¯ z¯) = (1, −1, 3). 而. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14 分)
(¯x − 1)2 + (¯y − 2)2 + (¯z − 7)2 = 25.
于是所求球面方程为
(x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 25.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15 分)
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二二二、、、(本题 10 分) 设 f1, f2, . . . , fn 为[0, 1] 上的非负连续函数. 求证: 存在ξ∈[0, 1],
使得∫
∏n ∏n 1
fk(ξ) ≤ fk(x) dx.
k=1 k=1 0
证证证明明明: 记∫
1
ak = fk(x) dx, ∀ k = 1, 2, . . . , n.
0
当某个 ak = 0 时, 结论是平凡的. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 分)
下设 ak > 0 ( ∀ k = 1, 2, . . . , n). 我们有
v
∫ u ∫
1 u∏n f (x) 1 1 ∑n f (x)
tn k dx ≤ k dx = 1.
ak n ak
0 k=1 0 k=1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分)
由此立即可得存在ξ∈[0, 1] 使得
v
u
u∏n f (ξ)
tn k ≤ 1.
ak
k=1
结论得证. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)
2
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三三三、、、(本题 15 分) 设 F n 是数域 F 上的 n 维列空间, σ: F n → F n 是一个线
性变换. 若∀ A ∈ Mn(F ), σ(Aα) = Aσ(α), ( ∀α∈ V ), 证明: σ=