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中国地质灾害与防治学报Ⅷ.
。№:
月.
流域水系的多标度分形研究及应用
高璃·≯
中科院成都山地灾害与环境研究所
提要幸文依据多标度分形理论,
育演化的规律,。
坚演化确
一
、引言
自美籍法国数学家在年首次提出分形的概念以来“,分形几何学也
随之应运而生。分形理论的广泛应用,充分显示了它强大的生命力。尽管分形的严格定义
至今仍难以给出,但它的一个基本性质却已被人们广泛接受, 即分形描述了一类具有无穷
嵌套的自相似结构的几何体, 于是,地理学家们很快将分形与具有类似自相似结构被称
为统计自相似结构的水系联系起来,并做了大量工作,为流域水系发育,演化的研
究注入了新的活力。本文建立了水系的多标度分形模型,与单一分形相比,多标度分形更
能刻划水系发育的不均匀性,尽管模型还没有精确刻划水系的局部动力学特征,但这一方
法无疑为深化水系发育演化规律的定量研究开辟了一条新途径。
二、流域水系的多标度分形研究
粗略地看,流域水系的几何结构具有统计自相似性,更仔细地观察可以发现,同一水
系中,不同级别的支沟具有明显的差异性,每一级水系的弯曲程度即粗糙度,数量及分
布状况均有很大的差别,这一事实使我们有理由相信水系的分形结构是不均匀的结构,描
述这种结构的有效方法就是多标度分形理论。
. 多标度分形理论
多标度分形,也称分形测度,是由曼德尔布罗特首先
提出的,它是指定义在分形结构上的由多个标度指标的分形测度组成的无限集合。它刻划
了分布在支集上的具有不同标度Ⅱ和标度指数%的分形子集的局部标度性。对于分
形支集,不同物理量的不同分布决定了该支集上的不同多标度分形谱。因此,分形谱是分
形结构微观性质的一个反映,.
述多标度分形”,其具体形式为:
一, ·】.
一—
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其中: 一..
为某个量在支集上的几率分布。
为了刻划集合的局域标度特性,.等结合广义维数,提出了分形谱的通用公
式,
’
一—一..

..
求出后,可经勒让德变换得,可直接微分求得一般的,多重分
形谱具有以下普适特征:一曲线是凸曲线;“的极值处对应通常的分维。;
处的分维值为;谱在一。。时对应,表征多标度分形中测度
最集中的区域,在一一。。时对应⋯表征多标度分形中测度最分散的区域。
多标度分形所蕴含的物理恩想意昧着一个分形结构的演化是分层次的,每一个层次都
具有相似的标度行为这样的复杂体系在整体动力学的控制下,其整体也同样具有标度行
为。这个思想反映了一大类非线性系统所产生的复杂结构的演化特征。因此,多标度分形对
于理解这些结构的形成及其动力学根源都具有重要的意义。
.流域水系的双标度康托模型
双标度康托集类似于传统的康托集。不同的是每下一级的构造,都按两个标度、如及
相应的测度、:进行。显然这是一个自相似集。要计算,。
为此,构造一个配分函数:
,,一三,~ ..
若有一。..
则存在一个,使