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《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及答案
一、选择题
a11
a12
a13
a11
2a12
3a13
=a21
a22
a23
,则行列式2a21
4a22
6a
23
的值应为:
a31
a32
a33
3a31
6a32
9a
33

,R(A)=r<n,那么:

0

中没有不等于零的r阶子式
,那么:

P,使P1AP
B
B
.存在对角阵D,使A与B都相似于D

E
B
E
D
.A
B
a11
a12
a13
a31
a32
a33

a21
a22
a23
3,则2a213a31
2a223a322a233a33等于
a31
a32
a33
a11
a12
a13

B.-9
C.-3
D.-6

(aij)mn,m<n,且R(A)=r,那么:
<m
<n

中r阶子式不为零
E
,
此中E为r阶单位阵。

0
,
是A的一个特色根,则A的陪同矩阵A的特色根之一是:
A.
1
A
n

C.
1A
n

3x
ky
z
0

4y
z
0
有非零解,则k应为:____________。
kx
5y
z
0
=0
=1
=2
=-2
,n
3且R(A)n
2,A是A的陪同阵,那么:___________。
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及

0
(A)0

n1
(A)2
A

n矩阵,齐次线性方程组
AX0仅有零解的充要条件是:
A.
A的列向量线性没关
B.
A的列向量线性相关
C.
A的行向量线性相关
D.
A的行向量线性相关
kxz
0

2x
ky
z
0有非零解,则
k应为:________。
kx
2y
z
0

1

2

___________。
A.(AB)T
ATBT

B则A
B
、B为三角形矩阵,则
A+B为三角矩阵

E2
(A
E)(A
E)
、B相似的充要条件是____________。

形似于Bk
二、填空题
。
;

A有__________________________________;
(列)加上另一行(列)的
k倍,行列式的值______________。
1
2
2

t
3,B为三阶非零矩阵,且
AB0,则t=________________。
3
1
1
、B为n阶方阵,若存在可逆矩
P,使_________则称A与B相似。
0
1
7.
__________________。
0
1
2
3

1
k的R(A)
2,则k____________。
0
1
1
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
x1
x2
x3
0

x2
x3
0仅有零解,则
应满足的条件是_______________。
x1
x2
x3
0
x
1
1
(x)
1
2x
x则f(x)中x3的系数等于_________,x2的系数等于_________。
1
2
x
(1,
2,
3),
(3,
2,
1),且
与k
正交,则k____________。
x1
x2
a1

x2
x3
a2
有解,则常量
a1,a2,a3,a4应满足条件___________。
x3
x4
a3
x4
x1
a4
三、证明题
,A是A的陪同矩阵,A的行列式为A
1
,求证:(2A)1
2
AA.
4
,且A2
3
A
4E
0,试证A可逆,并求A1。
,B均为n阶正交矩阵,且
A
B,证明:A
B
0。
四、计算题
、B,此中A(1,2n),B(1,2n),A1,B3,
求A3B。
1
2
3

2
4
求A1
.
2
1
0
12
,且AB0,此中B01,问
20
(1)A能否与对角矩阵相似?(2)求A。
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
a
b
0
0
0
0
a
b
0
0

0
0
a
0
0
0
0
0
0
b
b
0
0
0
a
2
2
3

1
1
0
,求A1。
1
2
1
1
a
3

1
4
3
的特色多项式有重根,问:参数
a取何值时,A能与对角矩阵相似?
1
2
5
1
1
1
0

1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
2
1
1

2
1
0
求A1
1
1
1

0,A
221
2,A3
1323,此中:
11,1,0T,
2
0,1,1T,3
1,0,1T
1)证明:A能与对角矩阵相似。
2)求出A及相似对角矩阵∧。
,AE0,4E2A0,计算A。
1
1
2
2

,2
0
,3
2
,4
2
的一个最大线性没关组,并将其正交化。
3
1
1
4
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
1
2
1

a
a
1
2
1

若A不可以与对角矩阵相似,求参数a。
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》作业参照答案
一、选择题

.
二、填空题

Cnk;
;

=-3

B
n(n1)
7.(1)2
1
2
n

1
9.
1且
2
,-2
=
5
7

a2
a3
a4
0
0
0
0
1
4
1
0
2
;
1
0
13.-9
;14.
3
0
1
0
3
2
1
0
0
0
3
2
1
2

;17.
299
4
2
4
;
;
2
1
2
三、证明题
:由题设
A是三阶方阵,
A
1
,
1A1
4
1A1
(1)3A
(1)3
(1)2
(2A)
1
A
AA
1
1
1
A
。
2
2
4
4
4
A
4
:由A2
3A
4E
0,即:A2
3A
4E
A(A
3E)
4E
A(1A
3E)E
即A可逆,且A1
1A
3E。
4
4
4
4
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
:由题设:
AAT
ATA
E
BBT
BTB
E
所以A
B
BBTA
BAT
A
B(BT
AT)AB
(B
A)TA
2
B
AA
即:(1
A
2)A
B
0
只有A
B
0
证毕。

0
b,A
i
0,i1,2,,n
r,则A
i
b,所以
0,1,
2,
,nr
是方程组(*)的线性没关解。
设
00
11
22
nrnr
0,则(0
1
nr)0
11
22
nrnr
0,两边
左乘A得,
(0
1
nr)b0,有
0
1
nr
0,于是
11
22
nrnr
0,可得
0,
1,2,
,
n
r线性没关。

0
k1
1
k2
2
knr
nr
是解;另一方面,设
为任一
0
k11
k22
knrnr
[1(k1
knr)]0
k11
k22
knrnr
四、计算题
:A
3B
1
3
1,42,
4
n
4n1
1
31,2,
n
4n1(`1,2,
n
31,2
n)
=
4n
1(1
9)
2n
1。
1
2
3
:A
3
2
4
1,
A
的代数余子式:
2
1
0
A11
4,A12
8,A13
7,A21
3,A22
6,A23
5,A32
5,A33
4
1AA
A11
A21
A31
4
3
2
A1
A12
A22
A32
86
5
A
A13
A23
A33
7
5
4
1
2
:(1)令
1
0
2
1,则B
(1,
2),由题设AB0,既有
2
0
A
1
0,A
2
0,这表示
1,
2是A的属于特色值
0的特色向量。取
3(1,1,1)T;
由题设
A的每行元素之和为
3,则A
3
33即
3是A的特色值为3的特色向量,又
1
2
1
0
1
1
1
0,故
1,
2,
3线性没关。这表示
3阶方阵有3个线性没关的特色向量,
2
0
1
所以A能与对角矩阵相似。
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
0
0
0
(2)由(1)令P
(1,2,3),P可逆,且P1AP0
0
0
0
0
3
0
0
0
1
2
1
0
0
0
1
2
1
6
12
3
AP000P1
0
110002
31
612
3
0
0
3
2
0
1
0
0
3
2
4
1
6
12
3
:D
an
(
1)n1bn
(按第一列睁开)
2
2
3
:A
1
1
0
1
1
2
1
求陪同矩阵A
A
的代数余子式:
A11
1,A12
1,A13
1,A21
4,A22
5,A23
6,A31
3,A32
3,A33
4
A
1
4
3
A1
(
1)A
1
5
3
A
1
6
4
:计算A的特色多项式:
1
a
3
f( )
EA
1
4
3
(
2)(2
8
10a)
1
2
5
由题设f(
)=0有重根,故分两种状况:
(1)
2
是重根,则g(
)
2
8
10
a含有(
2)
因子,
g(2)
0
f(
)
(
2)2(
6)
得a=2,此时可得出R(2EA)
1
,
所以属于(
2)的特色向量的重数
3-1=2,
加之特色根
6的特色向量,
A有3个线性没关的特色向量,故此时
A能与对角矩阵相似。
(2)
2不是重根,则
2
8
10
a是完整平方项,由此得a=6,
此时f(
)
(
2)(
4)2
即对应
4的没关向量个数为
3-2=1,
故此时,A不可以与对角矩阵相似。
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
:D
1
0
1
4
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
2
1
1
:A
2
1
0
3,求A的陪同矩阵A的元素。
1
1
1
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
A11
1
A2
2
A13
3
A21
0
A22
3
A23
3
A31
1
A32
2
A33
0
1
0
1
A11
A21
A31
3
3
A1A
A1
1A12
A22
A32
2
1
2
A
3
3
A13
A23
A33
3
1
3
1
0
9.(1)证:令P
(
1,2,
3)
则AP
(0
2
1
2
1
3
2
3)
0
2
1
0
2
1
=
1,2,3013
记B
013既有AP
PB而P可逆
0
0
1
0
2
1
两边同时左乘P1有
P1AP
B
即A~B。而相似矩阵有同样的特色值,
2
1
从而
EA
EB0
1
3
(
1)(
1)
0
0
1
可看出三阶方阵
A有3个相异的特色值
1
0,
2
1,
3
1
所以A可与对角矩阵相似。
1
1
1
1
0
1
0
2
1
2
2
2
4
4
0
(2)A
PBP1
1
1
0
0
1
3
1
1
1
1
1
1
5
0
1
1
0
0
1
2
2
2
2
1
1
3
1
1
1
2
2
2
0
0
0
对角阵∧=
0
1
0
0
0
1
:
A
2E
0,AE
0,A
2E
0,
3
可以看出三阶方阵
A的三个特色值为:
1
2,
21,32,
3
故A与对角矩阵相似,且
A
4
123
。
3
:令A
(1,
2,
3,
4)可求出R(A)
3可知最大线性没关组的向量个数为
3,
因1,2,30所以1,2,3即为一个最大线性没关组。
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
正交化:取1
1;
8
2,
1
2
1
7
4
1
0
2
2
2
2
2
1
14
7
1
1,
1
1
3
7
4
2
7
3,
3,
2
9
1
1
2
4
1
11
1
2
2
2
1
8
3
3
1
2,
2
1,
1
2
1
14
3
2
7
2
14
9
1,2,3两量正交.
:A的特色多项式为:
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
1
2
1
f( )
a
a
a
(
2)(
a)
1
2
1
所以A的特色值为:
1
0,2
2,3
a
(1)当a
0且a
2时,与题设矛盾
1
2
1
(2)当a
0时
0E-A
0
0
0
R
3R1
1
2
1

121
00
00
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
R(0E
A)1,特色值
0所含没关特色向量的个数为
3-1=2加上特色根
2
的特色向量,则
A可与对角阵相似,与题设矛盾。
(3)当a
2时,R(2E
A)
2则属于二重根
2
的线性没关特色向量,个数为3-2=1
故此时A不可以与对角矩阵相似,吻合题意,即
a2
。
13n!(2
1
1
1)
2
3
n
14计算题
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
系数矩阵为
基础解系为1
15、计算题

1
1
0
3
1
1
1
2
1
0
3;
4
2
6
3
且秩为
4
2
4
2
4
7
(
1,1,1,0,0),2
1(7,5,0,2,6)
6
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
x1
a2
an
x1
a2
an
a1
x2
an=
a1
x1
x2a2
0
=
a1
a2
xn
a1
x1
0
xnan
x1
a2
an
n
ai
x1
(x1a1)
a2
an
a1
x1
x2
a2
0
i2xi
ai
=
0
x2a2
0
=
a1
x1
0
xn
an
0
0
xn
an
n
ai
n
(x1
(x1
a1)
)
(xi
ai)
xi
i2
ai
i2
16、计算题
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
1
6

228
422
458
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及
《线性代数》题库及