文档介绍：该【《线性代数》题库及答案】是由【mazhuangzi1】上传分享，文档一共【16】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【《线性代数》题库及答案】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。线性代数》题库及答案
一、选择题
设A为n阶方阵,R(A)=r<n,那么:

设n阶方阵A与B相似,那么:
,使P-1AP=B
—九E=B—九E
B.|a|=0

B•存在对角阵D,使A与B都相似于D

a
a
a
a
2a
3a
11
12
13
11
12
13
=
a
21
a
22
a
23
,则行列式
2a
21
4a
22
6a
23
的值应为:
a
a
a
3a
6a
9a
31
32
33
31
32
33

a
a
a
a
a
a
11
12
13
31
32
33
=
a
a
a
=3,
则
2a一3a
2a—3a
2a一3a
等于
21
22
23
21 31
22 32
23 33
a
a
a
a
a
a
31
32
33
11
12
13
A. 6
B.-9
C.-3
D.-6
=(a) ,mvn,且R(A)
ijmxn
=r,那么:
<m
<n
(E「

10J
, 其中E为r阶单位阵
,九是A的一个特征根,则A的伴随矩阵A*的特征根之一是
―1An |A| |A| \A\n
3x+ky+z=0
如果<4y+z=0有非零解,则k应为: 。
kx—5y—z=0
=0 =1 =2 =-2
设A是n阶方阵,n>3且R(A)=n—2,A*是A的伴随阵,那么:
B. R(A*)二0
C. A*二|A|n-1
D. R(A*)<2
,齐次线性方程组AX=0仅有零解的充要条件是:

'kx+z=0
+ky+z=0有非零解,则k应为:
、kx-2y+z=0
11.
12.
=0
=-1
C.
k=2
=-2
列命题正确的是
A.(AB)T=ATBT
B.
若A丰B则|A|丰|B|
、B为三角形矩阵,则A+B为三角矩阵
矩阵A、B相似的充要条件是

D.
B.
A2-E2=(A+E)(A-E)
A与B相似于同一矩阵

二、填空题
行列式与它的转置行列式的值是。
矩阵A 的K阶子式共有 ;
mxn
n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有
行列式的某行(列)加上另一行(列)的k倍,行列式的值。
'12-2、
设A=4t3,B为三阶非零矩阵,且AB=0,则t= 。
〔3-1 1丿
A、B为n阶方阵,若存在可逆矩P,使则称A与B相似。
0 …九
...1
:J,:= 。
九… 0
n
'1 2 3、
若矩阵A=2-1k的R(A)=2,则k= 。
I011丿
Xx+x+x=0
1 2 3
x
1
1
10•设多项式f(x)=
1
2x
x
则f(x)中x3的系数等于
,x2的系数等于
1
2
x
<x+Xx+x=0仅有零解,则九应满足的条件是
1 2 3
x+x+Xx=0
1 2 3
11.
3),B=(3,
已知a=(1, 2,
2, 1),且«与ka+B正交,则k=
r1
0
0'
「3
1
0
2_
=
1
2
0
,B=
1
-1
2
-1
<5一1
3丿
1
3
4
4
则行列式13A-11=(
设A是3阶方阵,
且IA1=-3,
12.
,则AB的秩是( )
14.
'0
0
0
<4
1
0
0
0
0
2
0
0
0'
0
3
0丿
,则A-1=(
x
+x
=-a
1
2
x
+x
=a
23
2
x
+x
=-a
3
4
x
+x
=a
1
15若线性方程组<
4 1 4
;有解,则常量a1,a2,a3,a4应满足条件
3
=(A,A,A,A),B=(A,A,A,B),其中A,A,A,A,B都是四元列向量,
1234
IAI=-1,B=2,则行列式|A+2B|=(
1234
2344
已知
17已知矩阵A=PQ,其中P=
,Q=(2,
—1,2),则矩阵A100=(
(1
1
2、
r1
2
4
1]
0
3
2
,B=
2
4
8
2,,
、0
0
-1,
6
2
0,
=
,则秩(AB)=(
三、证明题
1
(2A)-1-A*=A
,A*是A的伴随矩阵,A的行列式为|A|=才,求证:
,且A2-3A一4E=0,试证A可逆,并求A-1。
1)A能否与对角矩阵相似?
(2)求A。
ab0
…00
0ab
…00
0 0a
.计算n阶行列式D—
…00
000
… 0b
b0 0
… 0a
,B均为n阶正交矩阵,且|A|=_B|,证明:|A+B—0。
4向量组耳0—Yoi—Y0+丫严2—Y0+丫2'…"n_r 。+丫“_「是方程组(*)的线性无关解向量。
5n,n,耳,…,耳的一切线性组合kn+k耳+k耳+…k耳,其中刃k—1,是方程组(*)的全部解0 1 2 n_r 00 11 22 n_rn_r
j
j—0
四、计算题
1•已知n阶方阵A、B,其中A-巴巴……叮B—(卩严2……3)'
AI—1,BI—_3,
求|A+3B\。
—
2
2
_1
3•设三阶方阵A—3的每行元素之和均为3,且AB-0,其中B-
1
0
_2
,问
2 2 3
—1一10
_121
1a
—_1 4
1_2
_3
_3的特征多项式有重根,问:参数a取何值时,A能与对角矩阵相似?
5
1
1
1
0
1
1
0
1
—
1
0
1
1
0
1
1
1
'21-1
=2 1 0求A-i
J一11>
9•设三阶方阵A满足加i=0,
Aa=2a+a
212
Aa二-a+3a-a,其中:
3 1 2 3
a=1,1,0〕,a=t),1,1]T,a=1,0,11
123
1)证明:A能与对角矩阵相似。
(2)求出A及相似对角矩阵A。
10.
设三阶行列式满足I3A+2E=0,|A一E=0,
|4E-2A=0,计算|A|。
11.
(1]
r1]
r2]
r21
2
,a=
0
,a=
2
,a=
2
2
3
4
3
-1,
1
4,
求向量轡=
-2-1
a-a若A不能与对角矩阵相似,求参数ao
21
的一个最大线性无关组,并将其正交化。
1
=—a
-1
计算n阶行列式
2 1 … 1
1 3 … 1
D=....
n : : •. :
1 1 …n
计算题
求齐次线性方程组
x+x-3x-x=0
1 2 4 5
x-x+2x-x=0
1 2 3 4
4x-2x+6x+3x-4x=0
12345
2x+4x-2x+4x-7x=0
1 2 3 4 5
的基础解系及通解。
D=
n
x
1
a
1
a
2
x
2
•…a
n
•…a
n
a
a
•…x
1
2
n
16、计算题
15、计算n阶行列式
其中x丰a,1<i<n
ii
「1
1
—1"
「1
—11_
求矩阵X,使得X
0
2
2
二
1
1
0
1
—1
0
2
1
1
线性代数》作业参考答案
一、选择题

二、填空题

Ck-Ck;
mn
n个线性无关的特征向量;
不变
t=-3
P-iAP二B
n(n—1)
(—1)2九九九
1 2 n
k=1
九H1且九H2
,-2
5
k=——
7
a+a+a+a=0
/
1「
0
0
0
4
1
0
2
0
-1—
0
1
0
3
2
1
0
0
0
3
丿
13.-9;;
'2 -12、
; -24
;
I2-12丿
三、证明题
1
:由题设A是三阶方阵,|A|=4,
(2A)-1-A*
2A-i-|A|.A-i
1111
二(4)3lA-"二(4)3诵二(4)2二吋。
2•证:由A2—3A—4E=0,即:A2—3A=4E
A(A-3E)二4E
A』A-3E)=E即A可逆,且A-i=-A-3E。
4 4 4 4
:由题设:AAt=AtA=E BBt=BtB=E
所以|A+B\二|BBtA+BAtA|二|B(Bt+At)a|二|B-1(B+A)t|A||=-|A|2|A+B
即:(1+|A|2)|A+B|二0只有|A+B\=0证毕。
,Ay二0,i二1,2,…,n-r,则Aq二b,因此耳,耳,耳,…,耳是方程组(*)的线性无关解。
0 i i 012 n-r
设Xq+Xq+Xq+•…+Xq—0,贝g(九+X+•…+X)q+Xy+Xy+•…+Xy—0,两边001122
左乘A得,
(X+X+…+X)b—0,有01
q,q,q,…,q线性无关。
012 n-r
n-r
n-r
n-r
0i
九+九+…+九二0,
0i
n-r
于是小+——+九耳二0,可得
11 22 n-rn-r
5显然叨0+G1+幼2+…J'n-r是解;
另一方面,
设耳为任
耳二丫+k丫+kY+…+kY
0 11 22 n-rn-r
四、计算题
二[1-(k+…+k )]q+k耳+k耳+…+k耳
1 n-r 0 11 22 n-rn-r
:|A+3B|=a+3卩],气……4aJ
=4n-1 +3P,a, a
1 1 2 n
|=4n-1(a,a, a|+3P,a a
'1 2 n 1 2 n
=4n-1(1—9)=-2n+1
2 -3
:|A|=32-4=1, A的代数余子式:
-10
A=-4,A =—&A =-7,A
11 12 13 21
=3,A=6,A=5,A=-5,A =-4
32 33
22
23
A-1
ra
A
A)
r-4
3
-2'
11
21
31
A
A
A
—
-8
6
-5JJ
12
22
32
(a
13
A
23
AJ
33y
(-7
5
-4丿
r1「
r2「
:(1)令01—
0
0—
2
1
(一2丿
(0丿
则B=(卩J卩2)
由题设AB=0,既有
A*0,AP2=0,这表示卩1,卩2是A的属于特征值0的特征向量。取03二(MW;
由题设A的每行元素之和为3,则A0二30即0是A的特征值为3的特征向量,又
3 3 3
121
0 11=-lH0,故P,P,P线性无关。这表示3阶方阵有3个线性无关的特征向量,
1 2 3
-201
所以A能与对角矩阵相似。
00、
00
03丿
厂0
(2)由(1)令P=(0,0,0),P可逆,且P-1AP=0
123
10
r0
0
0)
r1
2
1jr0
0
0'
r-1
2
-1「
r-6
12
-3、
A—P
0
0
0J
P-1—
0
1
1J
0
0
0JJ
2
-3
1JJ
—
-6
12
-3JJ
(0
0
3丿
(-2
0
1丿
(0
0
3丿
(-2
4
-1>
(-6
12
-3丿
:D—an+(-1)"+1bn (按第一列展开)
2 2 3
:A|—1 -10—-1
-121
求伴随矩阵A*
A—-1,A
1112