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2021/8/9星期一
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一、定义
设函数y=f(x)定义域为A,=f(x)解得x=(y),
且对于y在C中的任何一个值,x在A中都有唯一确定的值和它对应,
那么式子x=(y)就表示x是变量y的函数,把x=(y)叫做函数y=f(x)的反函数,记作:x=(y)=f-1(y).
x=f-1(y)一般改写成y=f-1(x),其定义域为C,值域为A.
二、定义理解
:映射f:A→C为一一映射.
,但可以在定义域区间的某个子区间上存在反函数.
.
注意:反函数的定义域不能由其解析式来求.
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三、简单性质
=x对称;
,但有反函数的函数不一定是单调函数;
,偶函数在一般情况下无反函数;
;
=f(a),则a=f-1(b);若a=f-1(b),则b=f(a),
即:若a∈A,b∈C,则f-1[f(a)]=a,f[f-1(b)]=b.
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四、求函数的反函数的步骤
=f(x)解出x=f-1(y)(即用y表示x);
=f-1(y)中的字母x,y,得f(x)反函数的表达式y=f-1(x),
=f(x)中y的取值范围,得其反函数中x的取值范围;
五、函数与其反函数图像的交点问题
如果一个函数与其反函数的图像有公共点,则公共点在直线y=x上,或者关于直线y=x对称地成对出现.
=f-1(x)中x的取值范围.
例如函数y=-3x+7;
又如函数y=().
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1
x
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4
:
(1)y=2x2-x+1(x≤-1)
(-1≤x≤0)
(0<x≤1)
(3)
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(4).求函数y=x|x|+2x的反函数.
解:原函数可写成:
y=
x2+2x,x≥0,
-x2+2x,x<0.
即y=
(x+1)2-1,x≥0,
-(x-1)2+1,x<0.
当x≥0时,y≥0,
由y=(x+1)2-1得:
x=-1+y+1;
当x<0时,y<0,
由y=-(x-1)2+1得:
x=1-1-y.
故所求反函数为y=
-1+x+1,x≥0,
1-1-x,x<0.
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(1,2)既在函数的
图象上,又在它的反函数的图象上,则
实数a=________,b=________.
=x对称,则
m=____
a=-3,b=7;m=-1
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,函数y=g(x)的图象与
f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称,则
g(3)的值_____
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-1
1
x
o
y
-1
1
x
o
y
1
x
o
y
1
-1
1
x
o
y
(D)
(A)
(B)
(C)
6、设函数f(x)=1-1-x2(-1≤x≤0),则函数y=f-1(x)的图像可能是()
B
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7、求函数y=1-x与它的反函数图像的交点坐标.
(2)(,);(1,0);(0,1).
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2
5-1
2
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