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函数解析式
2021/8/9星期一
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在给定条件下求函数的解析式f(x),是高中数学中经常涉及的内容,形式多样,没有一定的程序可循,综合性强,解起来有相当的难度,但是只要认真仔细去探索,(x)的方法.
一、配凑法
例1已知f()=+,求f(x).
x
x+1
x2
x2+1
x
1
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
解:∵f()=+
x
x+1
x2
x2+1
x
1
=1++
x2
1
x
1
=(+1)2-(+1)+1
x
1
x
1
并且≠1,
x
x+1
=()2-()+1
x
x+1
x
x+1
评注:若在给出的函数关系式中与的关系不明显时,要通过恒等变形寻找二者的关系.
+
x2
x2+1
x
1
x
x+1
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二、换元法
所以f(x)=2lnx-3(x>0).
评注:通过换元,用“新元”代替原表达式中的“旧元”,从而求得f(x).又如:已知f(cosx-1)=(x).
例2已知f(ex)=2x-3,求f(x).
解:设t=ex,则x=lnt且t>0,有:
f(t)=2lnt-3(t>0).
f(x)=2x2+4x+1(-2≤x≤0)
三、解方程组法
例3已知f(x)+f()=1+x(x≠0,1),求f(x).
x
x-1
解:记题中式子为①式,用代替①中的x,整理得:
x
x-1
f()+f()=②,
x
x-1
1-x
1
x
2x-1
再用代替①中的x,整理得:
1-x
1
f()+f(x)=③,
1-x
1
1-x
2-x
解由①,②,③组成的方程组,得:
2x(x-1)
x3-x2-1
f(x)=.
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评注:把f(x),f(),f()都看作“未知数”,把已知条件化为方程组的形式解得f(x).又如:已知af(x)+bf()=cx,其中,|a|≠|b|,求f(x).
x
x-1
1-x
1
1
x
f(x)=(ax-).
a2-b2
c
b
x
四、递推求和法
例4已知f(n)-f(n-1)=an,n为不小于2的自然数,a≠0且f(2)=8,求f(n)的解析式.
解:由已知,f(3)-f(2)=a3,f(4)-f(3)=a4,…,f(n)-f(n-1)=an,
将这(n-2)个式子相加,得:
评注:这是运用数列中递推公式的思想.
f(n)-f(2)=a3+a4+…+an=
n-2(a=1时);
a3(1-an-2)(1-a)-1(a≠1时).
∴f(n)=
n+6(a=1时);
8+(a3-an+1)(1-a)-1(a≠1时).
∵f(2)=8,
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五、待定系数法
例5设f(x)是二次函数,f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,求f(x).
解:
可设:
f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c).
比较系数得:a=1,b=0,c=-1.
从而有:f(x)=x2-1.
又由已知f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,
∴13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)与13x2+6x-1表示同一个式子,
即13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)≡13x2+6x-1.
f(x)=ax2+bx+c(a0),从而有:
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例6已知f{f[f(x)]}=27x+13,且f(x)是一次式,求f(x).
解:由已知可设f(x)=ax+b,则:
f[f(x)]=a2x+ab+b.
∴f{f[f(x)]}=a3x+a2b+ab+b.
由题意知:a3x+a2b+ab+b≡27x+13.
比较系数得:a=3,b=1.
故f(x)=3x+1.
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六、数学归纳法
例7已知f(n+1)=2+f(n)(n∈N+),且f(1)=a,求f(n).
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解:f(1)=a
f(2)=2+a
1
2
=4-21+2-1a,
故猜想:f(n)=4-23-n+21-na,用数学归纳法证明如下:
f(5)=2+f(4)
1
2
f(3)=2+f(2)=3+a
1
2
1
4
=4-20+2-2a,
f(4)=2+f(3)=+a
1
2
7
2
1
8
=4-2-1+2-3a,
=4-2-2+2-4a,
=4-22+20a,
证明从略.
故f(n)=4-23-n+21-na.
评注:先用不完全归纳法摸索出规律,再用数学归纳法证明,适用于自然数集上的函数.
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七、其它