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因子子分分析析
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§1引言言
因子子分分析析(factoranalysis)是是一一种种用用来来分分析析隐隐藏藏在在表表象象背背后后的的因因子子作作用用的的一一类类统统计计模模型型和和方方法法。。它它通通过过研研究究众众多多变变量量之之间间的的内内部部依依赖赖关关系系,,探探求求观观测测数数据据的的基基本本结结构构,,并并用用少少数数几几个个不不可可观观测测的的所所谓谓公共共因因子子的线线性性组组合合与与特殊殊因因子子之和和来来描描述述原原来来观观测测的的每每一一分分量量。。
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例如如,为为了了了了解解学学生生的的各各种种数数学学能能力力,,分分别别进进行行了了加加减减、、乘乘除除、、代代数数、、几几何何和和微微积积分分的的测测验验,,相相应应成成绩绩分分别别记记为为::T1,……,T5。对对这这些些成成绩绩进进行行归归纳纳分分析析,,找找出出与与学学生生的的各各种种数数学学能能力力有有关关的的内内在在的的不不可可测测的的公公共共因因子子,,如如空空间间因因子子、、记记忆忆因因子子、、归归纳纳因因子子、、演演绎绎因因子子,,分分别别记记作作::F1,……,F4。用用这这些些不不可可测测的的相相互互独独立立的的公公共共因因子子和和各各自自的的特特殊殊因因子子((分分别别记记作作::εε1,……,εε5)来来描描述述原原来来可可测测的的相相互互关关联联的的变变量量,,并并解解释释分分析析学学生生的的数数学学能能力力。。
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主成成分分分分析析与与因因子子分分析析的的不不同同::主成成分分分分析析仅仅仅仅是是变变量量变变换换,,而而因因子子分分析析需需要要构构造造因因子子模模型型。。
主成成分分分分析析::原原始始变变量量的的线线性性组组合合表表示示新新的的综综合合变变量量,,即即主主成成分分;;
因子子分分析析::潜潜在在的的假假想想变变量量和和随随机机影影响响变变量量的的线线性性组组合合表表示示原原始始变变量量。。
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§2因子子分分析析模模型型
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一、数学模模型
矩阵形式::
公共因子::y1,…,ym;
特殊因子::
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所谓因子分分析,就是是从可以观观测的变量量x1,…,xp给出的样本本数据中,,求出载荷荷矩阵A,,预测出公公共因子y1,…,ym.
aij:(公共))因子载荷荷(量),,表明xi与yj的相依程度度。
A:公共因因子载荷阵阵。
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二、因子子载荷矩阵阵中的几个个统计特征征
1、因子载载荷aij的统计意义义
因子载荷aij是第i个变量与第第j个公共因子子的相关系系数,也叫做权权,表明xi依赖yj的份量。
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2、变量共共同度的统统计意义
定义:变量量xi的共同度是是因子载荷荷矩阵的第第i行的元素的的平方和。。记为
统计意义:
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