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思想方法训练4转化与化归思想
一、能力突破训练
={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且M∩N=⌀,则实数a的取值范围是()
A。a〉2B。a<-2
C。a>2或a<—2D。—2<a〈2
=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1,则b的取值范围是()
A.[-1,1]B.
C。D.
:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取
值范围为()
。[-1,0]
C。[0,1]D.
4.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my—2=0的距离。当θ,m
变化时,d的最大值为()
A。1B。
5。已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)〈2(x∈
R),则不等式f(x)〈2x+1的解集为()
A。(1,+∞)B。(—∞,—1)
C.(—1,1)D。(-∞,-1)∪(1,+∞)
(x)=ax3+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log10))=5,则f(lg(lg2))=()
2
A。-5B。-
7。在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x—5y+c=0的距离为1,则实数c
的取值范围是.
8。已知函数f(x)=2x-2-x,若不等式f(x2-ax+a)+f(3)〉0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围
是.
∈[1,2],函数g(x)=x3+x2-2x在区间(t,3)内总不为单调函数,求实数m的
取值范围.
(x)=x3—2ax2-3x。
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)已知对一切x∈(0,+∞),af’(x)+4a2x≥lnx-3a—1恒成立,求实数a的取值范围。
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二、思维提升训练
11。已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点,又点A(—1,0),则的最小值是
()
A。B。C。D。
12。设F,F分别是双曲线=1(a>0,b〉0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使
12
()·=0,O为坐标原点,且||=|,则该双曲线的离心率为()
A.+。D。
(x)=x2—ax+2在区间[0,1]上至少有一个零点,则实数a的取值范围是.
14。已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若∀x∈R,f(x)〈0或g(x)<0,则m的取值范围
是。
(x)=elnx,g(x)=f(x)-(x+1)(e=……).
(1)求函数g(x)的极大值;
(2)求证:1++…+〉ln(n+1)(n∈N*).
2
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思想方法训练4转化与化归思想
一、能力突破训练
1。C解析M∩N=⌀等价于方程组无解。
把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,
得到关于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0,①
由题易知一元二次方程①无实根,即Δ=(2a)2—4×2×(a2-2)〈0,由此解得a>2或a〈—2.
,即,解得-b
(x,y),倾斜角为α,0≤tanα≤1,y=f(x)=x2+2x+3,f’(x)=2x+2,
00
0≤2x+2≤1,-1≤x≤-,故选A.
00
(x,y),则x2+y2=1。
即点P在单位圆上,点P到直线x—my—2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上
(或减去)半径,所以距离最大为d=1+=1+当m=0时,d=3。
max
(x)=f(x)-2x-1,则F’(x)=f'(x)—2〈0,得F(x)在R上是减函数。
又F(1)=f(1)-2—1=0,即当x>1时,F(x)〈0,不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞),故选A.
6。C解析因为lg(log10)+lg(lg2)=lg(log10×lg2)=lg=lg1=0,所以lg(lg2)=-
22
lg(log10).
2
设lg(log10)=t,则lg(lg2)=-t。由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+bsint+4=5,所以at3+bsin
2
t=1,所以f(-t)=—at3—bsint+4=-1+4=3.
7。(-13,13)解析若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d〈1。
∵d=,
∴0≤|c|<13,即c∈(—13,13)。
8.(—2,6)解析f(x)=2x-2—x为奇函数且在R上为增函数,
所以f(x2-ax+a)+f(3)〉0⇒f(x2—ax+a)〉—f(3)⇒f(x2-ax+a)〉f(—3)⇒x2—ax+a〉-3对任意实数
x恒成立,即Δ=a2—4(a+3)〈0⇒-2<a<6,
所以实数a的取值范围是(-2,6)。
9。解g'(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)内总为单调函数,则①g'(x)≥0在区间(t,3)内恒成
立或②g'(x)≤0在区间(t,3)内恒成立.
由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4-3x在x∈(t,3)内恒成立,∴m+4—3t恒成立,则m+4≥—
1,即m≥-5;
由②得m+4—3x在x∈(t,3)内恒成立,
则m+4—9,即m≤-
故函数g(x)在区间(t,3)内总不为单调函数的m的取值范围为—〈m<-5.
(1)由题意知当a=0时,f(x)=x3—3x,
所以f’(x)=2x2—3.
又f(3)=9,f'(3)=15,
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所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为15x-y-36=0。
(2)f'(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1≥lnx,即a在x∈(0,+∞)时恒成立.
设g(x)=,则g'(x)=,
当0〈x<时,g’(x)〉0;当x〉时,g'(x)〈0,
所以当x=时,g(x)取得最大值,且g(x)=,
max
故实数a的取值范围为
二、思维提升训练
显然点A为准线与x轴的交点,如图,过点P作PB垂直准线于点B,则|PB|=|PF|.
=sin∠PAB。
设过A的直线AC与抛物线切于点C,
则0<∠BAC≤∠PAB,
∴sin∠BAC≤sin∠PAB.
设切点为(x,y),则=4x,又=y’,解得C(1,2),|AC|=2
000
∴sin∠BAC=,的最小值为故应选B。
如图,取FP的中点M,则=2
2
又由已知得2=0,
即=0,
又OM为△FFP的中位线,
21
在△PFF中,2a=||—||=(—1)||,
12
由勾股定理,得2c=2||。∴e=+1.
4
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13.[3,+∞)解析由题意,知关于x的方程x2—ax+2=0在区间[0,1]上有实数解。
又易知x=0不是方程x2—ax+2=0的解,所以根据0<x≤1可将方程x2—ax+2=0变形为a==x+
从而问题转化为求函数g(x)=x+(0<x≤1)的值域.
易知函数g(x)在区间(0,1]上单调递减,所以g(x)∈[3,+∞).故所求实数a的取值范围是a≥3.
14.(—4,0)解析将问题转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)〈0的解集的子集求解.
∵g(x)=2x-2<0,∴x〈∀x∈R,f(x)〈0或g(x)〈0,∴[1,+∞)是f(x)<0的解集的子集.
又由f(x)=m(x—2m)(x+m+3)<0知m不可能大于等于0,因此m〈0.
当m〈0时,f(x)〈0,即(x-2m)(x+m+3)〉0,
若2m=—m—3,即m=-1,此时f(x)〈0的解集为{x|x≠-2},满足题意;
若2m>-m—3,即-1〈m〈0,此时f(x)〈0的解集为{x|x>2m或x〈—m-3},
依题意2m<1,即-1<m〈0;
若2m<—m-3,即m〈-1,此时f(x)〈0的解集为{x|x〈2m或x>-m—3},
依题意—m-3〈1,m〉-4,即-4<m〈—1。
综上可知,满足条件的m的取值范围是-4〈m〈0.
15.(1)解∵g(x)=f(x)-(x+1)=lnx-(x+1),
∴g’(x)=—1(x〉0).
令g’(x)〉0,解得0〈x〈1;令g'(x)〈0,解得x〉1。
∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴g(x)=g(1)=—2.
极大值
(2)证明由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,∴g(x)≤g(1)=—2,即lnx—
(x+1)≤-2⇒lnx≤x—1(当且仅当x=1时等号成立).
令t=x—1,得t≥ln(t+1),取t=(n∈N*),
则〉ln=ln,
∴1>ln2,>ln〉ln,…,〉ln,
叠加得1++…+>ln=ln(n+1)。
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