线性代数试题及答案。。.docx

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线性代数试题及答案。。
线性代数试题及答案。。
第
一
部
分
选
择
题
(
共
2
8
分)
一、单项选择题(本大题共
14小题,每题
2分,共
28分)在每题列出的四个选项中只有一个是切合题目
要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。

a11
a12
=m,a13
a11
=n,则队列式
a11
a12
a13
等于(
)
a21
a22
a23
a21
a21a22
a23
+n
B.-(m+n)
-m
-n
1
0
0
=
0
2
0
,则A-1
等于(
)
0
0
3
1
0
0
3
1
0
0
1
A.
0
0
B.
0
1
0
2
2
0
1
1
0
0
0
3
1
1
0
0
0
0
2
3
1
C.
1
0
D.
0
0
0
3
0
0
1
0
1
2
0
3
1
2
=
1
0
1
,A*是A的陪伴矩阵,则
A*中位于(1,2)的元素是(
)
2
1
4
A.–6


D.–2
,若有矩阵关系式
AB=AC,则必有(
)
=0

C时A=0

0时B=C
D.|A|
0时B=C
×4矩阵A的行向量组线性没关,则秩(
AT)等于(
)




,α2,,αs和β1,β2,,βs均线性有关,则(
)
+λβ=0

0的数λ
1
,λ
2
,,λ
s
使λ
1
α
1
+λ
2
α
2
++λα=0和λ
β
+λβ
s
s
1
1
2
2
s
s

0的数λ1,λ2,,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)++λs(αs+βs)=0

0的数λ
1
,λ
,,λ
s
使λ
1
(α
1
-β
1
)+λ
2
(α
2
-β
)++λ(α
-β
)=0

0的数λ
2
2
s
s
s
1
,λ
2
,,λ
s
和不全为
0的数μ
1
,μ
2
,,μ
s
使λ
α
1
+λ
α
++λα=0和μ
β
1
2
2
ss
1
1+μ2β2++μsβs=0
,则A
中(
)
-1
阶子式都不为
0
-
1阶子式全为0

r阶子式不等于
0

0
=b
是一非齐次线性方程组,
η1,η
2
是其随意
2个解,则以下结论错误的选项是(
)
+η2是Ax=0
的一个解
B.
1η1+
1η2是Ax=b
的一个解
2
2
-η2是Ax=0
的一个解
-η2是Ax=b
的一个解
,则必有(
)
(A)<n
(A)=n-1
=0
=0只有零解
(≥3)阶方阵,以下陈说中正确的选项是(
)

α使Aα=λα,则α是A的属于特点值λ的特点向量
线性代数试题及答案。。
线性代数试题及答案。。
线性代数试题及答案。。

α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特点值

,λ2,λ3是A的3个互不同样的特点值,
α1,α2,α3挨次是A的属于λ1,λ2,λ3的特点向量,
则α1
2
3
有可能线性有关
,α,α

是矩阵A的特点方程的
3重根,A的属于λ0
的线性没关的特点向量的个数为
k,则必有(
)
≤3
<3
=3
>3
,则以下结论错误的选项是(
)
A.|A|2必为1
B.|A|必为1
-1=AT
(列)向量组是正交单位向量组
,C是实可逆矩阵,B=(
)




(
)
2
3
3
4
A.
4
B.
6
3
2
1
0
0
1
1
1

2
3

2
0
0
3
5
1
0
2
第二部分
非选择题(共
72分)
二、填空题(本大题共
10小题,每题2分,共
20分)不写解答过程,将正确的答案写在每题的空格内。
错填或不填均无分。
1
1
1

5
6
.
9
25
36
=
1
1
1
,B=
1
2
3
.
1
1
1
1
2
.则A+2B=
4

A=(aij)3
×
3,|A|=2
,Aij表示|A|中元素
aij
的代数余子式(i,j=1,2,3
),则
(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=
.
(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性有关,则
a=
.
×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组
Ax=b的2个不一样的解,则它的通解为
.
×n矩阵,A的秩为r(<n),则齐次线性方程组
Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为
.
、β的长度挨次为
2和3,则向量α+β与α-β的内积(α+β,α-β)=
.
|A|=8,已知A有2个特点值-
1和4,则另一特点值为
.
0
10
6
2
=
1
3
3
,已知α=1是它的一个特点向量,则
α所对应的特点值为
.
2
10
8
2
(x
1,x
2,x3,x4,x5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为
.
三、计算题(本大题共
7小题,每题6分,共
42分)
1
2
0
2
3
1
=
3
4
0
,B=
2
4
.求(1)ABT;(2)|4A|.
1
2
1
0
3
1
1
2

5
1
3
4
.
2
0
1
1
1
5
3
3
423
=110,求矩阵B使其知足矩阵方程AB=A+2B.
123
线性代数试题及答案。。
线性代数试题及答案。。
线性代数试题及答案。。
2
1
3
0
=
1
,α2=
3,α3=
0
,α4=
1
.
0
2
2
4
3
4
1
9
试判断α4能否为α1,α2,α3的线性组合;假如,则求出组合系数。
1
2
1
0
2
2
4
2
6
6
=
1
0
2
.
2
3
3
3
3
3
4
求:(1)秩(A);
(2)A的列向量组的一个最大线性没关组。
0
2
2
=
2
3
4
的所有特点值为
1,1和-,使T-
1AT=D.
2
4
3

f(x1,x2,x3
)=x12
2x22
3x32
4x1x2
4x1x3
4x2x3,
并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题(本大题共
2小题,每题5分,共
10分)
=0,试证明E-A可逆,且(
E-A)-1=E+A+A2.

Ax=b的一个特解,
ξ1,ξ2是其导出组
Ax=0的一个基础解系
.试证明
1)η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b的解;
2)η0,η1,η2线性没关。
答案:
一、单项选择题(本大题共
14小题,每题
2分,共
28分)














二、填空题(本大题共
10空,每空
2分,共20分)

3
3
7
16.
3
7
1
4
–10
η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1)),c为随意常数
n-r
–5
–2
1

三、计算题(本大题共7小题,每题6分,共42分)
1
2
0
2
2
(1)ABT=3
4
0
3
4
1
2
1
1
0
6
1810.
10
2)|4A|=43|A|=64|A|,而
120
|A|=3
4
0
2.
1
2
1
因此|4A|=64·(-2)=-128
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线性代数试题及答案。。
31125111
513411131

2
0
1
1
0
0
1
0
1
5
3
3
5
5
3
0
5
1
1
=
11
1
1
50
511
=
6
2
0
6
2
30
10
40.
5
5
5
5
0

AB=A+2B即(A-2E)B=A,而
2
2
1
1
4
3
3
(A-2E)-1=
1
1
0
1
5
3.
1
2
1
1
6
4
1
4
3
4
2
3
因此
B=(A-2E)-1A=
1
5
3
1
1
0
1
6
4
1
2
3
3
8
6
=
2
9
6.
2
12
9
2
1
3
0
0
5
3
2

1
3
0
1
1
3
0
1
0
2
2
4
0
1
1
2
3
4
1
9
0
13
1
12
因此α4=2α1
+α2
+α3
,组合系数为(2,1,1).
解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,
2x1
x2
3x3
0
即
x1
3x
2
1
2x2
2x3
4
3x1
4x2
x3
9.
方程组有独一解(
2,1,1)T,组合系数为(
2,1,1).

对矩阵A实行初等行变换
1
2
1
0
2
A
0
0
0
6
2
0
3
2
8
2
0
9
6
3
2
1
2
1
0
2
1
2
1
0
2
0
3
2
8
3
0
3
2
8
3
0
0
0
6
2
0
0
0
3
=B.
1
0
0
0
21
7
0
0
0
0
0
(1)秩(B)=3,因此秩(A)=秩(B)=3.
(2)因为A与B的列向量组有同样的线性关系,而
B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的
一个最大线性没关组,故
A的第
1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性没关组。
(A的第1、2、5
列或1、3、4列,或
1、3、5列也是)

A的属于特点值λ=1的2个线性没关的特点向量为
ξ1=(2,-1,0)T,
ξ2=(2,0,1)T.
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线性代数试题及答案。。
线性代数试题及答案。。
2
5/5
2
5/15
经正交标准化,得
η1=
5/5,η2=
4
5/15.
0
5/3
λ=-8的一个特点向量为
1
1/3
ξ3=
2,经单位化得η3
=
2/3.
2
2/3
25/5
2
15/15
1/3
所求正交矩阵为
T=
5/5
4
5/15
2/3.
0
5/3
2/3
1
0
0
对角矩阵
D=0
1
0.
0
0
8
25/5
2
15
/15
1/3
(也可取T=
0
5
/3
2/3
.)
5/5
4
5
/15
2/3

f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-2x
2
-2x2
2
+4x2x
3-7x
2
3)
3
1
2
-2x
3
2
2
-x
3
)
2
-5x
32
.
=(x+2x
)
-2(x
y1x1
2x2
2x3
x1y1
2y2
设y2
x2
x3,即x2
y2
y3,
y3
x3
x3
y3
1
2
0
因其系数矩阵C=011可逆,故此线性变换满秩。
001
经此变换即得f(x1,x2,x3)的标准形
y12-2y22-5y32.
四、证明题(本大题共2小题,每题5分,共10分)
(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,
因此E-A可逆,且
E-A)-1=E+A+A2.
=b,Aξ1=0,Aξ2=0.
1)Aη1=A(η0+ξ1)=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2=b,
因此η1,η2是Ax=b的2个解。
2)考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,
即(l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0,不然η0将是Ax=0的解,矛盾。因此
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线性代数试题及答案。。
l1ξ1+l2ξ2=0.
线性代数试题及答案。。
线性代数试题及答案。。
线性代数试题及答案。。
又由假定,ξ1,ξ2线性没关,因此
因此η0,η1,η2线性没关。

l1=0,l2=0,进而

l0=0.
线性代数试题及答案。。
线性代数试题及答案。。
线性代数试题及答案。。