文档介绍：《泛函分析》题库建设填空题(120个空)
一、填空题(120个空)
1、在度量空间的定义中,不等于集,距离应满足; ; 三个条件,度量空间的完备的充要条件是。
2、设是两个线性空间,若存在到的双射满足条件: ; ;则称为到同构映射,这时两个空间同构。
3、在赋范线性空间中,对于中的任意两个元素,由范数导出的距离;完备的赋范线性空间称为空间。
4、设是两个赋范线性空间,是的线性子空间到中的线性算子,集合称为线性算子的。如果是中的闭集,则称是算子。
5、设施一个内积空间,若,则直交的充要条件是;若,则与直交的充要条件是;若,则直交的充要条件是。
6、在离散空间中,两点的距离;空间中两点的距离;在有界函数空间中,两点的距离;
7、巴拿赫空间中的基本定理有定理; 定理; 定理; 定理。
8、在复内积空间中,内积具有如下三个基本属性①;②;③;
9、设是两个线性空间,是的线性子空间到中的映射,若以及数满足①;②;则称为到中的线性算子,称为的;称为的域。
10、设为度量空间,,集合称为;又若,则称为;若,称为集。
11、设是度量空间,。若,则称中;当时,称为
的一个集。若有一个子集,称可分。
12、设是线性空间,是一给定的数。若对任何,令,则线性算子称为算子;当称为算子;当称为算子。,令,称为算子。
13、是实(或复)的线性空间。如果对每个向量,有一个确定的实数与之对应,且满足①;②;③;则称为向量的;称为空间。
14、设是两个非空集合。是到中的映射。如果,为数集,称为;若为一般非空集合,为数集,称为;若,都为一般非空集合,称为。
15、设是两个度量空间。是到中的映射,,若,当,且时均有,称在处。若,成立,称为映射。又若是到中的映射,如果存在一个数,,,则称为映射。
16、设是两个赋范线性空间,是的线性子空间到中的线性算子,如果存在常数,使对,有,则称是到中的有界线性算子,为上有界线性算子的充要条件是。
17、设为赋范线性空间的子空间到赋范线性空间中的线性算子,则= ;= = 。
18、设为希尔伯特空间到的有界线性算子,如果;称为上的自伴算子,若,则称为上的正常算子。若是上的,且,则称为上的酉算子。
19、设是度量空间,是中的点列,若,当时,有,称为点列;为完备度量空间的充要条件是。又若,为为完备子空间的充要条件是为
集。
20、设是两个度量空间,是到上的映射,如果在的每一点都连续,称是上的映射。集合称为集合在映射下的;简记为。
21、设是复线性空间,是中的向量,是个数,称为向量的一个。如果存在个不全为零的数使得,称,否则称它们。
22、设是两个赋范线性空间,是到中的线性算子,若有,则称是到中的算子。又若是满射,则称映射,这时。
23、设是希尔伯特空间上的有界算子。令,则
是算子, ;称为算子的分解。
24、在中点列收敛的实质是收敛。在空间中点列收敛于的实质是,在可测函数空间中,点列收敛于的实质是。
25、设是一个线性空间,是的一个非空集合。中任意有限多个向量的线性组合全体记为。称为由张成的,它是的空间。
26、设是度量空间,是的一个非空集合,,称为,记为,在赋范线性空间中,= 。
27、设是一个内积空间,若的子集满足①;②;③;则称为的赋范正交系。
28、设是度量空间中的子集,如果存在不在的任何半径不为零的开球中稠密,称是中的集,凡第一纲集都可以表示成并集,不是第一纲集的集合称为集。
29、设是线性空间,是中的极大线性无关组,则称的基数为的数,称为的一组,若的基数为有限数,则称为空间;否则称为空间;如果只含零元素,则称为空间。
30、设是两个赋范线性空间,我们以表示全体。以及对数域中的任一,若令; ,则按此定义的加法和乘法构成空间,在空间中,当为空间时,是巴拿赫空间。
31、设都是希尔伯特空间,都是由中的有界线性算子,分别是的共轭算子,数是复数,则有; ; ; ;当时, ;
32、设是一个度量空间,是的非空子集,如果存在,使,称为的点。如果存在,使,称为的点;若在中有一个点列收敛于,则称为的点。如果是开集,则中所有点都是它的点,如果是闭集,那么。
33、设是内积空间,是的子集,称集合为在中的;简记为,它与有且仅有一个公共元素是;当时,这个集合中存在元素。
34、设是希尔伯特空间的两个酉算子,那么;当时, ;是算子;是算子。
35、设是赋范线性空间,是定义在上的泛函,若满足
①为数;②,则称为定义在的次线性泛函。
《泛函分析》判断题(40个)
二、判断题
1、若集合在集合中稠密,则。( )
2、若是一个紧集,那么度量空间一定是完备的度量空间。( )
3、线性空间中的有界线性泛函一定连续。( )
4、所有的内积空间都是希尔伯特空间。( )
5、所有