泛函分析.ppt

文档介绍：泛函分析主讲教师:何中全西华师范大学数学与信息学院§. ????????????????????????., . 3 ;2 ;0,01 :, ,, .为度量空间上的一个度量是我们称三角不等式对称性正定性当且仅当且满足条件与之对应都有为已确定的实数中任意两个元素若对于是一个集合设 X,d Xd y,z d x,y d x,z d y,x d x,y d yx x,y d x,y d x,y d yx X X?????????例1 离散的度量空间?????????.,0 ,,1 ,,,yx yx x,y d XyxX X当当令中任意两点对是任意的集合设例2 序列空间 S ????????????.,,12 1 .,, 1Syξxηξηξ x,y d NiZRξξ x|x S iiii iii i ii???????????????或者令例3 有界函数空间 B(A) ??????????????????. . sup ,, , , 是度量空间, 则定义中的任意两点对函数全体或复值上有界实值表示令是一给定的集合设 x,y dAB tytx x,y d yx AB AAB A At???例4 可测函数空间 M(X) ??????????????????????. .1 , ,, Lebesgue , Lebesgue 是度量空间则定义及对任意两个可测函数若测度为可测函数全体的或复值上实值为设XΜ dtt -gtf t -gtf f,g d tg tf Xm m XXΜX?????例5 连续函数空间 C[a,b ] ????????????????. . max ,, , 是度量空间则定义对任意的全体上实值或复值连续函数表示闭区间令 a,b C tytx x,y d a,b Cyx a,b a,b C a,b t??????????. ,, .| 2 1 1 2 2 1 2 2?????????????????????????i ii i iiyx x,y d lyx xxxl 定义对任意的例6 空间 2l 教学过程: 复****引入: (1)复****第二章 n维欧氏空间中的邻域,开集、闭集、极限等相应概念。(2)今天学****的度量空间与 n维欧氏空间有什么样子的区别和联系呢?进而举例说明常用的几种不同度量空间。讲解新课: 例 1 离散的度量空间设X是任意的非空集合,对 X中任意两点,令容易验证满足第二章中关于举例的定义中的条件及。我们称为离散的估量空间。由此可见,在任何非空集合上总可以定义距离。使它成为度量空间。例 2 序列空间 S令S表示实数列(或复数列)的全体,对 S中任意两点及,令易知满足距离条件,下面验证满足距离条件。为此我们首先证明对任意两个复数和,成立不等式事实上,我们考察上的函数由于在上, 所以在上单调增加,由不等式,我们得到 d ?Xyx?,????????yx yxyxd,0 ,1,?? yxd, 01 o2?? dX.???? nx???,, 21?????,,, 21ny????????????? 112 1, iii iiiyxd?????? yxd, 01?? yxd, o2 a bb ba aba ba???????111?),0?t ttf??1 )(?),0? 0)1( 1)( 2 ,???t tf?),0?baba??? 111111?????????????????b ba aba bba aba baba ba )(tf 令,,则,代入上面不等式,得由此立即可知满足距离条件,即 S按成一度量空间。例 3 有界函数空间 B(A) 设A是一给定的集合,令 B(A) 表示 A上有界实值(或复值)函数全体,对 B(A) 中任意两点 x,y ,定义下面验证满足条件和。显然是非负的。又等价于对一切,成立,所以,即满足条件,此外,对所有的成立所以即满足条件,特别的,当时,记 B(A) 为. 例 4 可测函数空间????,,,, 21nz??? iia?????? iib?? iiba????? ii iiii iiii ii???????????????????????111?? yxd, o2?? yxd,)()( sup ),(tytxyxd At????? yxd, o2 01?? yxd, 0),(?yxdAt?)()(tytx? yx??? yxd, 01 At?)()( sup )()( sup )()()()()()(tytztztxtytztztxtytx AtAt???????????)()( sup )()( sup )()( suptytztytxtytx AtAtAt