文档介绍：2011年高考分类汇编之数列、极限和数学归纳法(二)
福建文
 
17.(本小题满分12分)
已知数列{an}中,a1=1,a3=-3。(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值。
解:(Ⅰ)由a1=1,a3=-3得,所以an=3-2n;
(Ⅱ),解得k=7。
 
广东理
 
,则        .
20.(本小题满分12分)
设数列满足,
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数n,
 
广东文
 
,,则此数列的公比           .2
20.(本小题满分14分)
 设b>0,数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数,.
解:(1)
;;
(2)
,
,;
,。
 
湖北理
 
12.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为            升.
【答案】
解析:设该数列的首项为,公差为,依题意
,即,解得,
则,所以应该填.
19.(本小题满分13分)
已知数列的前项和为,且满足:, N*,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若存在 N*,使得,,成等差数列,试判断:对于任意的N*,且,,,是否成等差数列,并证明你的结论.
解:(Ⅰ)由已知:得,两式相减得,又
所以当时数列为:,0,0,0,…,
当时,由已知,所以,,于是
所以数列成等比数列,即当时
综上数列的通项公式为
(Ⅱ)对于任意的,且,,,成等差数列,证明如下:
当时由(Ⅰ)知,此时,,成等差数列;
当时,若存在 N*,使得,,成等差数列,则2=+
∴,由(Ⅰ)知数列的公比,于是对于任意的N*,且,
;所以2=+即,,成等差数列;
综上:对于任意的,且,,,成等差数列。
 
湖北文
 
17.(本小题满分12分)
成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、。
(I) 求数列的通项公式;
(II) 数列的前n项和为,求证:数列是等比数列。
解:(I)设成等差数列的三个正数分别为;则;
数列中的、、依次为,则;
得或(舍),于是
(II) 数列的前n项和,即
因此数列是公比为2的等比数列。
 
湖南文
 
20.(本题满分13分)
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%.
(I)求第n年初M的价值的表达式;
(II)设若大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年初对M更新,证明:须在第9年初对M更新.
解析:(I)当时,数列是首项为120,公差为的等差数列.
          
当时,数列是以为首项,公比为为等比数列,又,所以
          
因此,第年初,M的价值的表达式为
(II)设表示数列的前项和,由等差及等比数列的求和公式得
当时,
当时,
因为是递减数列,所以是递减数列,