文档介绍：复变函数内容回顾
iiθθ12
2)若 z1==z1e,z22ze , 则
(一)复数的概念
z
i(θθ12+ ) z1 1 i(θθ12­ )
z1z2= z12ze ; = e
1. 复数的概念: z=+xiy , xy, 是实数, zz22
x==Re( z),yzIm( ) .i2=­1.
注:两个复数不能比较大小. 1) 若 z=z(cosθθ+=isin) zeiθ,则
zn=znn(cosnθθ+=isin)nzeinθ。
1)模: z=+xy22; 2) 若z=z(cosθθ+=isin) zeiθ,则
1
2)幅角:在 z ¹ 0 时,矢量与 x 轴正向的夹角,记为 n æöθ++22kkπθπ
z=zn ç÷cos+isin(kn=­0,1,2L1)
èønn
Argz( )(多值函数);主值 arg ( z) 是位于(­ππ,]中的幅
(有 n 个相异的值)
角。
(三)复变函数
y
3) arg ( z) 与 arctan 之间的关系如下:
x
: w= fz( ) ,在几何上可以看作把 z 平
y
当 x > 0, argz = arctan ;
x
面上的一个点集 D 变到 w 平面上的一个点集 G 的映
ì y
yz³0,arg=+arctan π
ï x 射.
当 x< 0,í ;
y
ïyz<0,arg=­arctan π
îï x 、曲线。w= fz( ) ,像及原像。(-15)
4)三角表示: z=+zi(cosθθsin ) ,其中θ= arg z ; 、连续的定义及性质。(与实函数对
注:中间一定是“+”号。比)
5)指数表示: z= zeiθ,其中θ= arg z 。
(二) 复数的运算 1) 指数函数:ezx=+e(cosyiysin ) ,在z 平面处处
:若 z=x+iy, z=+xiy ,则 zz¢
111222 可导,处处解析;且(ee) = 。
z
z1±z2=( x1±x2) +±i( yy12) 注: e 是以 2πi 为周期的周期函数。( 注意与实函数不
: 同)
1)若 z1=x1+iy1, z2=+x22iy ,则 3) 对数函数:
z1z2=( x1x2­y1y2) ++i( x2y1xy12) ; Lnz=lnz++i(argzk2)π(k =0,±±1,2)L (多值函
x+­iyxiy 数);
z1x1+iy1( 11)( 22) x1x2+­y1y2y1x2yx21
===+22i 22
z2x2+iy2( x2+iy2)(x2­iy2) x2++y2xy22
主值: lnz=+lnzizarg 。(单值函数)
Lnz 的每一个主值分支 ln z 在除去原点及负实轴 1)点解析: fz( ) 在 z0 及其 z0 的邻域内可导,称
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的 z 平面内处处解析,且(lnz) = ; fz( ) 在 z0 点解析;
z
注:负复数也有对数存在。(与