文档介绍：幂函数
翡翠竹林
2017年12月
基本初等函数之
【课标要求】
.
=x, y=x2,y=x3,y= ,
y=x-1的图象,了解它们的变化情况.
【核心扫描】
.(重点)
.(难点)
.(易混点)
新知导学

函数叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
y=xα

幂函数
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
图象
定义域
R
R
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0,+∞)增
x∈(-∞,0]减
增
增
x∈(0,+∞)减
x∈(-∞,0)减
定点
(1,1)
互动探究
探究点1 幂函数y=xα与指数函数y=ax(a>0且a≠1)有何区别?
提示幂函数y=xα的底数是自变量,指数是常数,而指数函数正好相反,在指数函数y=ax中,底数是常数指数是自变量.
探究点2 “幂函数的图象都不过第二、四象限”对吗?
提示不对,幂函数y=x2的图象过第二象限,所有的幂函数的图象都不过第四象限,因为对y=xα而言,当x>0时,必有y>0.
探究点3 y=1和y=x0(x≠0)一样吗?它们都是幂函数吗?
提示不一样,y=1不是幂函数,y=x0(x≠0)是幂函数.
类型一幂函数概念的理解及应用
【例1】函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式.
[思路探索] 首先根据幂函数的定义,幂的系数为1,其次根据性质确定m的值,进而得解.
解根据幂函数定义得,
m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,
当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上是增函数,
当m=-1时,f(x)=x-3,在(0,+∞)上是减函数,不合要求.
∴f(x)的解析式为f(x)=x3.
[规律方法]
(1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2-m-1=1”这一等量关系,导致解题受阻.
(2)幂函数y=xα(α∈R)中,α为常数,系数为1,,解题时一定要分清,以防出错.
【活学活用1】
若幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm2+m-1的图象与坐标轴没有交点,试求实数m的值.
解:
由f(x)=(m2-2m-2)xm2+m-1是幂函数,
则m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.
(1)当m=3时,f(x)=x11过原点(0,0),与坐标轴相交,不合题意;
(2)当m=-1时,f(x)=x-,实数m的值为-1.
[思路探索]
先画出两函数在同一坐标系中的图象,再观察函数值的变化情况,得出结论.
[规律方法]
=xα的图象恒过定点(1,1),且不过第四象限.
,需把握两个原则:(1)幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降;
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,在第一象限内,直线x=1的右侧,图象由上到下,相应的指数由大变小.