文档介绍：求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。
答案:
由不等式得(a+2)x2+4x+a-1≥0. ①
①对任意x∈R成立。
ⅰ)当a=-2时,①化为4x≥3,当x<时不成立。
ⅱ)当a<-2时,由二次函数性质①不恒成立。
ⅲ)当a>-2时,△=4×[4-(a+2)(a-1)]≤0,即a2+a+2≥4,得a≥2,或a≤-3,综上所述,a≥2。
来源:08年数学竞赛专题二
题型:解答题,难度:中档已知不等式组①②的整数解恰好有两个,求a的取值范围。
答案:
因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,
若a≤0,则x1<x2.①的解集为a<x<1-a,由②得x>1-2a.
因为1-2a≥1-a,所以a≤0,所以不等式组无解。
若a>0,ⅰ)当0<a<时,x1<x2,①的解集为a<x<1-a.
因为0<a<x<1-a<1,所以不等式组无整数解。
ⅱ)当a=时,a=1-a,①无解。
ⅲ)当a>时,a>1-a,由②得x>1-2a,
所以不等式组的解集为1-a<x<a.
又不等式组的整数解恰有2个,
所以a-(1-a)>1且a-(1-a)≤3,
所以1<a≤2,并且当1<a≤2时,不等式组恰有两个整数解0,1。
综上,a的取值范围是1<a≤2.
来源:08年数学竞赛专题二
题型:解答题,难度:较难
已知f(x)=ax2+bx+c在[0,1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。
答案:
因为,所以,
所以|a|+|b|+|c|=|2f(1)+2f(0)-4f|+|4f-f(1)-3f(0)|+|f(0)|
≤3+|f(1)|+8|f|+6|f(0)|≤17.
另一方面,对于二次函数f(x)=8x2-8x+1,当x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,且|a|+|b|+|c|=17,所以|a|+|b|+|c|的最大值为17。
来源:08年数学竞赛专题二
题型:解答题,难度:较难
对任意x∈[0,1],有成立,求k的取值范围。
答案:
当x∈[0,1]时,有x2-2kx+k-4<0成立。
记f(x)=x2-2kx+k-4,当且仅当时-3<k<4.
记g(x)=x2-kx-k+3. 当x∈[0,1]时,g(x)>0,由g(1)>0可得k<2.
ⅰ)当0≤k<2时,∈[0,1],g(x)>0当且仅当,即-6<k<2,亦即0≤k<2;
ⅱ)当k<0时,,g(x)>0当且仅当g(1)>0,即k<2。
综上所述,对任意x∈[0,1],不等式组成立。当且仅当-3<k<2.
来源:08年数学竞赛专题二
题型:解答题,难度:较难
设f(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈R, a>100,试问满足|f(x)|≤50的整数x最多有几个?
答案:
f(x)=a(x-x0)2+f(x0)。
ⅰ)若|f(x0)|≤50,因为满足|n-x0|<1的整数至多有2个,所以满足|f(x)|≤50的整数x至多有2个。
ⅱ)若|f(x0)|>50,若f(x0)>50,则|f(x)|≤50无解;若f(x0)<-50,设|f(n)|≤50,|f(n+k)|≤50,若k≥1,则|f(n+k)-f(n)|=|ak(2n+k-2x0)|≤100.
则k|2n+k-2x0|<1,若n≥x0,则k无解,所以满足n≥x0且|f(x)|≤50的整数x至多有1个。同理可得若n<n+k≤x0,则若k≥1,|k(2n+k-2k0)|<1. ①
因为|k(2n+k-2k0)|=|k(2n+2k-2k0-k)|>|k|≥1,
所以满足①的k也不存在。
所以满足|f(x)|≤50的整数最多有2个。
例如,f(x)=101,当x=0,1时有|f(x)|<50.
来源:08年数学竞赛专题二
题型:解答题,难度:较难
解关于x的不等式:mx2-3(m+1)x+9>0(m∈R)
答案:
(1)m=0时-3x+9>0 ∴x<3
(2)m≠3时当m<0时当m>0时
10 0<m<1时, 20 m=1时,x≠3 30 m>1时,x>3或
来源:
题型:解答题,难度:中档
已知函数是定义在上的奇函数,当时,(为常数)。
(1)求函数的解析式;
(2)当时,求在上的最小值,及取得最小值时的,并猜想在上的单调递增区间(不必证明);
(3)当时,证明:函数的图象上至少有一个点落在直线上。
答案:
(1)时,, 则
∵函数是定义在上的奇函数,即
∴,即,又可知
∴函数的解析式为,
(2),∵,,∴
∵
∴,即时, 。
猜想在上的单调递增区间为。
(3)时,任取,∵
∴在上单调递增,即,即
∵,∴,∴
∴当时,