文档介绍：第二节矩阵的运算
一、矩阵的加法
设A,B是m行,n列的同型矩阵
,
把它们对应位置上的元素相加得到的矩阵,称为A与B的和,记作A+B
例1 已知矩阵,,求A+B。
解: A+B=+=
注意:只有同型矩阵才能进行加法运算。
二、数与矩阵相乘
用数l乘以矩阵A的每一个元素而得到的矩阵,称为l与A的乘积, 记为lA或Al, 规定为lA=(laij). 即
特别地,l=-1时,
,
该矩阵称为矩阵A的负矩阵。
两个同型矩阵的减法运算可看成A-B=A+(-B)
矩阵的加减运算与数和矩阵相乘的运算统称为矩阵的线性运算。
线性运算满足下列运算规律:
(1)加法交换律:
(2)加法结合律:
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
例2 已知矩阵,,求
(1)A+B;(2)3A;(3)3A-2B
解(1)
(2)
(3)
三、矩阵的乘法运算
设有两个线性变换:
设x1,x2,与y1,y2,y3有如下线性关系:
——(1)
其系数矩阵
又设y1,y2,y3与z1,z2有如下线性关系:
. ——(2)
其系数矩阵
若想求出从x1、x2与z1、z2的线性变换, 可将(2)代入(1), 便得
. ——(3)
其系数矩阵
线性变换(3)可看成是先作线性变换(2)再作线性变换(1)的结果. 我们把线性变换(3)叫做线性变换(1)与(2)的乘积, 相应地把所对应的矩阵定义为(1)与(2)所对应的矩阵的乘积, 即
.
定义4 设Am×p=(aij) m×p是一个m´p矩阵, B p×n =(Bij) p×n是一个p´n矩阵, 那么矩阵A与矩阵B的乘积记为AB, 规定为m´n矩阵Cm´n=(cij) m´n, 其中
(i=1, 2, × × ×, m; j=1, 2, × × × n).
例3 设
解:
必须注意: 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时, 两个矩阵才能相乘.
矩阵乘法的几种特殊情况:
(1)如果A是n元行矩阵,B是n元列矩阵,那么AB是一个数值,BA是一个n阶方阵。
,
,

(2)如果A是m×n阶矩阵,
,B是n元列向量,那么
(3)单位矩阵乘以任意矩阵还等于原矩阵。
同理
单位矩阵相当于数中的“1”。
矩阵的乘法满足下列运算规律:
(1)结合律(AB)C=A(BC);
(2) l(AB)=( lA)B=A(lB). (其中l为数);
(3) 分配律 A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA。
例4 设矩阵A=[1,3,5],,,求AB,BA,AC
解:
例5 设, , 求AB及BA.
解,

由上面的例子可以得出如下结论:
,即AB≠BA,可从下面几个方面说明
(1)当AB可以相乘时,BA未必可以相乘,如A2×3与B3×4,AB有意义,但BA无意义。
(2)即使A=Am×n ,B=Bn×m,AB和BA都有意义,但AB是m阶方阵,BA是n阶方阵,所以AB≠BA。
(3)即使A,B都是n阶方阵,AB也不一定等于BA,见例5。
,即A≠O,B≠O,但AB=O;反之,即使AB=O,也不能得出A=O或B=O的