文档介绍：典型例题一
例1 解不等式
分析:解含有绝对值的不等式,通常是利用绝对值概念,将不等式中的绝对符号去掉,转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组),(使绝对值等于零的那个数所对应的点),将数轴分成若干段,然后从左向右逐段讨论.
解:令,∴,令,∴,如图所示.
(1)当时原不等式化为
∴与条件矛盾,无解.
(2)当时,原不等式化为.
∴,故.
(3)当时,原不等式化为
.∴,故.
综上,原不等式的解为.
说明:要注意找零点去绝对值符号最好画数轴,零点分段,然后从左向右逐段讨论,这样做条理分明、不重不漏.
典型例题二
例2 求使不等式有解的的取值范围.
分析:此题若用讨论法,可以求解,但过程较繁;用绝对值的几何意义去求解十分简便.
解法一:将数轴分为三个区间
当时,原不等式变为有解的条件为,即;
当时,得,即;
当时,得,即,有解的条件为∴.
以上三种情况中任一个均可满足题目要求,故求它们的并集,即仍为.
解法二:设数,3,4在数轴上对应的点分别为P,A,B,如图,由绝对值的几何定义,原不等式的意义是P到A、B的距离之和小于.
因为,故数轴上任一点到A、B距离之和大于(等于1),即,故当时,有解.
典型例题三
例3 已知,求证.
分析:根据条件凑.
证明:
.
说明:这是为学习极限证明作的准备,要习惯用凑的方法.
典型例题四
例4 求证
分析:使用分析法
证明∵,∴只需证明,两边同除,即只需证明
,即
当时,;当时,
,原不等式显然成立.∴原不等式成立.
说明:在绝对值不等式的证明,:
(1)如果,则,原不等式显然成立.
(2)如果,则,利用不等式的传递性知,,∴原不等式也成立.
典型例题五
例5 求证.
分析:本题的证法很多,下面给出一种证法:比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同,使我们联想利用构造函数的方法,再用单调性去证明.
证明:设.
定义域为{,且},分别在区间,区间上是增函数.
又,
∴
即
∴原不等式成立.
说明:在利用放缩法时常常会产生如下错误:
∵,,
∴.
错误在不能保证,.绝对值不等式在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用,,要根据题目的要求,及时调整放缩的形式结构.
典型例题六
例6 关于实数的不等式与的解集依次为与,求使的的取值范围.
分析:分别求出集合、,然后再分类讨论.
解:解不等式,
,
∴.
解不等式,.
当时(即时),得.
当时(即时),得.
当时,要满足,必须故;
当时,要满足,必须
∴.
所以的取值范围是.
说明:在求满足条件的时,要注意关于的不等式组中有没有等号,否则会导致误解.
典型例题七
例6 已知数列通项公式对于正整数、,当时,求证:.
分析:已知数列的通项公式是数列的前项和,它的任意两项差还是某个数列的和,再利用不等式,问题便可解决.
证明:∵
∴
.
说明:是以为首项,以为公比,共有项的等比数列的和,误认为共有项是常见错误.
正余弦函数的值域,即,,、三角函数、数列、个变量的绝对值不等式问题连在一起,