文档介绍：第三教时
教材:算术平均数与几何平均数
目的:要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义,并掌握“平均不等式”及其推导过程。
过程:
定理:如果,那么(当且仅当时取“=”)
证明:
:
“=”的条件
二、定理:如果是正数,那么(当且仅当时取“=”)
证明:∵∴
即: 当且仅当时
注意::
:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
三、推广:
定理:如果,那么
(当且仅当时取“=”)
证明:∵
∵∴上式≥0 从而
指出:这里∵就不能保证
推论:如果,那么
(当且仅当时取“=”)
证明:
四、关于“平均数”的概念
:
叫做这n个正数的算术平均数
叫做这n个正数的几何平均数
:算术平均数与几何平均数
: ≥
这个结论最终可用数学归纳法,二项式定理证明(这里从略)
语言表述:n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
:
A
B
D’
D
C
a
b
以为直径作圆,在直径AB上取一点C, 过C作弦DD’^AB 则
从而
而半径
五、例一已知为两两不相等的实数,求证:
证:∵
以上三式相加:
∴
六、小结:算术平均数、几何平均数的概念
基本不等式(即平均不等式)
七、作业:P11-12 练习1、2 P12 1--3
补充:,分别求的范围
(8,11) (3,6) (2,4)
(作差>)
:
证:
三式相加化简即得