文档介绍：第15讲函数的基本性质
一、要点精讲
(1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有,则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有,则称f(x)为偶函数。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否
确定f(-x)与f(x)的关系;
作出相应结论:
若f(-x) = f(x) 或= 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或= 0,则f(x)是奇函数。
(3)函数的图像与性质:奇函数的图象关于对称;偶函数的图象关于对称;
(1)定义:
注意:①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2)
(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是或是,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有,区间D叫做y=f(x)的。
(3)判断函数单调性的方法
(ⅰ)定义法:利用定义严格判断
(ⅱ)利用已知函数的单调性如若、为增函数,则
①+为;②为(>0);
③为(≥0);④-为
(ⅲ)利用复合函数【y= f(u),其中u=g(x) 】的关系判断单调性:
复合函数的单调性法则是“”
(ⅳ)图象法
(ⅴ)利用奇偶函数的性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
:利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法:
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;
利用图象求函数的最大(小)值;
利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
(1)定义:如果存在一个常数T,使得对于函数定义域内的,都有,则称f(x)为周期函数;
(2)f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f(x)的最小正周期;②若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)是周期函数,且周期为。
(3)设为非零常数,若对定义域内的任意恒有下列条件之一成立:
①;②;③;④;
⑤;⑥,
则函数, 是它的一个周期(上述式子分母不为零)
若同时关于与对称(<),则是周期函数, 是它的一个周期;若关于对称同时关于点(b,0)对称()则的一个周期T= ;若关于(,0)对称同时关于(,0)对称,则是一个周期函数,周期T= 。
【课前练习】
1. 已知函数=,那么是( )
B. 偶函数而非奇函数
2、函数的最小值。
;的单调递增区间是。
(-4,4),它们在上的图像分别如图(2-3),则关于的不等式的解集是_____________________。
二、典例解析
题型一:判断函数的奇偶性
:
(4)
例2.()设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数:①y=-|f(x)|;②y=xf(x2);③y=-f(-x);④y=f(x)-f(-x)。必为奇函数的有_____(要求填写正确答案的序号)
题型二:判断证明函数的单调性及单调区间
例3. (1).函