文档介绍：第5讲联想“模型函数”破解抽象函数题
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,,又能考查学生的思维能力,,学生解题时思维常常受阻,,(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),可联想到f(x)=kx(k≠0),有f(x1)=kx1 ,f(x2)=kx2,f(x1+x2)=k(x1+x2)=kx1+kx2=f(x1)+f(x2),则y=kx就可以作为抽象函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)的一个“模型函数”.分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知,由抽象函数的结构,联想到已学过的具有相同或相似结构的某个“模型函数”,并由“模型函数”的相关结论,预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质而使问题获解,,本文试图归纳一些中学阶段学过的常见“模型函数”,通过联想“模型函数”来破解抽象函数题.
一、中学阶段学过的常见“模型函数”
抽象函数
模型函数
f(x+y)=f(x)+f(y)
y=kx(k为常数)
f(x+y)=f(x)+f(y)-a
y=kx+a(k,a为常数)
f(x+y)=f(x)·f(y)
y=ax(a>0且a≠1)
f(xy)=f(x)+f(y)
y= (a>0且a≠1)
f(xy)=f(x) f(y)
y=xn(n为常数)
注:记忆方法:如和的函数等于函数的积对应的模型函数为指数函数,而积的函数等于函数的和对应的模型函数为对数函数等.
二、联想“模型函数”破解抽象函数题例析
【例1】已知函数f(x)对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x) >0,f(-1)=-2,求函数f(x)在区间[-2,1]上的值域.
联想:由f(x+y)=f(x)+f(y)联想“模型函数”y=kx(k为常数)为奇函数,k<0时为减函数,k>0时为增函数,从而猜测:f(x)为奇函数且f(x)为R上的单调增函数,且f(x)在[-2,1]上有f(x)∈[-4,2].
【例2】函数对任意、R,都有,并且当时,.(1)求证:是R上的增函数;
(2)若,解不等式.
联想:由联想“模型函数”y=kx+1(k为常数),由条件易知k>0,从而猜测:f(x)为R上的单调增函数,……
【例3】已知函数f(x)对于一切实数x、y满足f(0)≠0,f(x+y)=f(x)f(y),且当x<0时,f(x)>1,(1)当x>0时,求f(x)的取值范围;(2)判断f(x)在R上的单调性
联想:由f(x+y)=f(x)f(y)联想“模型函数”y=ax(a>0,a≠1),当a>1时为单调增函数,且x>0时,y>1,x<0时,0<y<1;0<a<1时为单调减函数,且x<0时,y>1,x>0时,0<y<1,从而猜测: f(x)为减函数,且当x>0时,0<f(x)<1.
【例4】设函数定义在R上,对任意实数,,恒有,且当时,.
(1)求证:,且当时,;
(2)求证:在R上递减;
(3)设集合,,
若,求的取值范围.
【例5】已知函数f(x)定义域为(0,+∞)且单调递增,满足f(4