文档介绍：简述标准形及其过渡矩阵的求法
摘要
本文较系统的总结了标准形及其过渡矩阵的通用的求法。
关键字:标准形,特征向量,过渡矩阵
Abstract
In this paper, the ways of solve the jordan canonical matrix and similarity transformation of a matrix to its jordan canonical matrix is summarized generally.
Key words:jordan canonical matrix , eigenvector , similarity transformation matrix
引言
定理:设是数域上维线性空间的一个线性变换,为其特征多项式,若,则在中存在一组基,使得在该组基下的矩阵为阵;在不考虑块排列次序的前提下,该阵是由唯一确定的,称其为的标准形。
定理是线性代数中最重要的结论,有多种证明方法,总的来说,可分为两大方向:一是借助矩阵;二是从线性空间本身出发对其进行恰当的直和分解,通过研究其相应子空间的性质最终完成证明。
在完成上述证明后,自然要求出标准形的具体形式,并进一步确定过渡矩阵,在现行通用的高等代数教材中,大多数均未给出一个完满的解决方案。
本文的写作目的是希望有兴趣的同学通过阅读本文,对标准形理论系统有更完整的更进一步的理解。
注:本文主要是立足于,可以看做是对的一个补充,记号与其保持一致。
一、求解标准形
1、通过矩阵求标准形
定义:是一个数域,是一个文字,作多项式环。一个矩阵,若它的元素是的多项式,称其为矩阵,用表示。
定义:设矩阵的秩为,对于正整数,中必有非零的级子式,中全部级子式的首相系数为的最大公因式称为的级行列式因子。
定义:矩阵的初等变换:、、。若经过有限次初等变换变为,称与等价。
在初等变换过程中,行列式因子是不变的,也就是说等价的矩阵具有相同的行列式因子。对任意一个非零的的矩阵进行有限次适当的初等变换总能将其化为以下形式的矩阵

其中是首项系数为的多项式,且。称其为的标准形。
依据以上论述可以求得:,
因此可以断定矩阵的标准形是唯一的。我们称标准形的主对角线上非零元素为的不变因子;将不变因子分解成为互不相同的首项为的一次因式方幂的乘积,所有这些一次因式方幂(相同的按出现的次数计算)称为
的初等因子。
下面给出一个定理。
定理:为数域上级矩阵,分别为的特征矩阵。以下命题等价:
相似
等价
有相同的行列式因子
有相同的不变因子
有相同的初等因子
我们简称矩阵的特征矩阵的三个因子(行列式因子、不变因子、初等因子)为的三个因子。从定理可以看出,三个因子都是矩阵的相似不变量,因此,我们可以将一个线性变换的任一矩阵的因子定义为的因子。
从以上论述我们可以得到一个寻找相似矩阵最简形的方向:对于矩阵,我们想办法找到一个形式比较简单的矩阵,使得和有相同的因子(考虑计算方便的因素,我们选取初等因子),那么,相似。
先给出求矩阵的初等因子的方法:通过初等变换,将化为对角形式,将主对角线上的元素分解为互不相同的一次因式方幂的乘积,这些一次因式的方幂就是的全部初等因子。
形矩阵的具体形式为:
,其中
可以求得矩阵的全部初等因子是:
这样,对于任意阶矩阵求出其初等因子,就可以写出相应的具有相同初等因子(因此也是相似的)的形矩阵,在不考虑块排列次序的前提下,写出的矩阵是唯一确定的。这样就证明了定理。
至此,通过矩阵这个桥梁,已经完整的解决了怎样求一个矩阵的标准形的问题。可以看到,关键是找到了相似不变量——不变因子,从不变因子的角度,构造出了一个与原矩阵相似的唯一的矩阵。下面,我们从线性空间本身出发,通过恰当的直和分解来证明定理。
2、通过直和分解求标准形
相似矩阵有相同的特征多项式,所以我们可以定义线性变换的特征多项式。设线性变换的特征多项式为,是的全部不同的根。可以证明,可以分解成子空间的直和,其中,。
记,称是上的一个幂零线性变换,我们现在考虑上的幂零线性变换。因为是线性变换的特征值,可以断定。取,有,故存在正整数使得且。显然有,向量组线性无关,令,则为的一个不变子空间,我们称为由生成的循环不变子空间。
显然有:
对于线性空间,利用商空间和子空间直和分解技巧,可以得到如下结论:
可分解为的循环不变子空间的直和:,
则以下向量组(为便于书写和理解,我们用如下形式表示出来)为的一组基:
其中,为的一个循环不变子空间的一组基。
在上面给出的这组基下,在上的矩阵为
,其中
则在同一组基下,线性变换在上得矩阵为。
是前面对做直和分解的一个子空间,我们将所有的以上形式的基合并为的一组基,则在