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摘要
本文考虑空间上的算子代数,讨论了退化算子代数的分类问题算子代数理
想的对称性问题算子代数的导子问题以及算子代数的交换性问题全文分四章
第一章中简要介绍空间上算子代数问题的背景与研究现状,及以后各章涉及
到的主要概念和结果,
第二章利用对称理想给出空间上退化算子代数分类的概念说明空间上退化算子
代数分为六类,并通过算子代数的分解以及对称理想的结构给出各类退化算子代数的一般
形式此外还给出了空间上退化算子代数是弱闭和一致闭的等价条件及算子代数交换性
的等价条件,证明空间上第。、。和类退化算子代数中二次交换定理成立最后给出
一个第类算子代数的例子
第三章证明了空间上非退化一代数和非退化的一代数的理想都是对称的对
退化的一代数给出了一类对称和非对称理想说明了,空间上第、工、类一代数
中没有非对称理想而第类代数中存在非对称理想最后给出关于理想对称性的两个例
子
第四章利用算子代数内导子是一个酉等价不变的概念,给出空间上非退化一代
数的导子是内的等价条件对空间上退化算子代数说明了第。、。和类一代数的
导子必是内的通过例子说明第。和类代数的导子一般不是内的‘
关键词空间算子代数退化非退化对称理想分类定理内导子二次
交换定理
中图分类号
主题分类
未作者、导师同珍
勿全文公布
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饰
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第一章问题的背景与研究现状
引言
本章简要介绍空间上算子代数问题的背景与研究现状,同时介绍以后各章
节涉及到的主要概念和结果
肚、空间及其上的算子代数
空间简称为空间它是负指标为的不定度规空间不定度规空间是一种
具有明确物理背景的空间该种空间最初是出现在‘的有关量子场论方面的文
章划中后来,在上个世纪四十年代,前苏联数学家也是从力学问题研究的
需要中开始,首先从数学上讨论了不定度规空间及其上的算子理论,再如,爱因斯
坦的相对论中“时一空”空间其实就是负指标为的四维不定度规空间,即四维的空间
有关不定度规空间上的几何理论及算子理论虽然远不象空间中相应理论那样丰富完
善,但也取得很多比较成熟的理论这些内容可在文献】中找到·
不定度规空间是复数域上的线性空间,且带有一个非退化的度规,·,即双
线性泛函,若,且,则称为零性向量零性向量构成的子空
间称为零性子空间类似地有正半正、负半负子空间如果不定度规空间
的正则分解二中负性子空间的维数为,则称之为空间,
或空间空间上的度规·,也称为不定内积,而由正则分解诱导出的正定内积
为卜、·二·,·一·,·一,相应的度规算子为空间上的算子关于不定内积的共扼算
子记为,而关于正定内积的共辘算子记为,并且有
第一章问题的背景与研究现状
用表示空间上有界线性算子所构成的代数的子代数若,则〔人
就称是对称的这里考虑的算子代数都是对称的
若没有零性不变子空间,则称为非退化的,否则就称为退化的
空间上的拓扑是由空间的正则分解诱导出的正定内积·,引入的范数所确定
的,与范数相应可给出中算子的范数这个算子范数确定了上的一致
拓扑上的弱算子拓扑是由空间上的不定内积·,·,按照自然方式定义的
若动的子代数风按一致拓扑是闭的,则称滩是、上的一代数若按弱算子拓扑
是闭的,则称是上的一代数
一一一一一一
第一章问题的背景与研究现状
空间上算子代数的研究现状
空间上算子代数是量子场论研究的有力工具,它的研究始于上个世纪六十年
代首先开始研究的是数学家,,以及后来
的,,等学者
我国的学者们对此也作出了若干研究从现有文献看,空
间上算子代数的研究大致有以下几种途径
一、通过空间分解研究具有某些特性的代数的结构如文献困研究交换对称算子
代数文献研究非退化包括不可约的算子代数等
二、以导子和表示为工具来研究算子代数的结构区
三、利用谱函数包括算子的方法研究算子代数包括理想的结构险