文档介绍：微积分的应用
微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想,‘无限细分’就是微分,‘无限求和’就是积分。无限就是极限,极限的思想是微积分的基础,它是用一种运动的思想看待问题。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分是与实际应用联系着发展起来的,它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中,有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
牛顿、莱布尼兹发明微积分以后,人们才有能力把握运动和过程。有了微积分,就有了工业革命,就有了大工业生产,也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。
微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。从数学的角度讲,是研究变量在函数中的作用。从物理的角度讲,是为了解
决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。“变”这个字是微积分最大的奥义。因此,了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。
微积分建立之初的应用:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
微积分学极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用,特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。
(一)在物理中的应用
例1,研究物体做匀变速直线运动位移问题时;
对于匀速直线运动,位移和速度之间的关系我们都清楚,x=vt,但如果物体的速度大小时刻发生变化,那么物体的位移如何求解呢?此时,微积分就成了我们有利工具。我们可以把物体运动的时间无限细分。在每一份时间内,速度的变化量非常小,可以忽略这种微小变化,认为物体在做匀速直线运动,因此根据已有知识位移可求;接下来把所有时间内的位移相加,即“无限求和”,则总的位移可以知道。现在我们明白,物体在变速直线运动时候
的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的面积;
例2,研究匀速圆周向心加速度的方向问题时;
根据牛顿第二定律,我们可以知道匀速圆周运动加速度的方向指向圆心;同时利用极限思想,也可以加速度的方向。当圆周上的两个点无限靠近时,速度变化量也无限的小,因此由VAVB△V围成的等腰三角形的底角接近90,因此速度变化量和速度垂直,而速度又和半径垂直,因此,匀变速圆周运动中,加速度的方向始终指向圆心。
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对于恒力做功,我们可以利用公式直接求出;但对于变力,我们不能利用公式;这种情况下,我们要借助于微积分,我们可以把位移无限细分,在每一个小位移上,力的变化很小,可以看作是恒力,根据公式算出力所作的功;然后把每一个小位移上的功无限求和,那么就可以求出变力做的总功是多少。
当然在物理问题上,通过解微分方程研究物体运动问题、气体问题、电路问题是非常普遍的。已知位移——时间函数计算速度,已知速度——时间函数计算加速度(即生活中交通管理方面的应用);运动学中的曲线轨迹求解(即生活中在篮球投篮训练中的应用);求不规则物体的重心;力学工程中计算变力和非恒力做功等等。
(二)在数学上的应用
微积分作为一种实用性很强的数学方法和根据,在数学发展
中的地位是十分重要的。例如,微分可以解决近似计算问题。比如:求sin29°的近似值,求不规则图形面积或几何体体积的近似值等。通过微积分求极限、利用微分中值定理,能够及时的放缩多项式,有利于不等式的化简和证明。极限求和、导数求和、积分求和也都是解决求数列前n项和的好方法。其次,数理化不分家。而且微积分在不等式中也有很大的运用,我们可以运用微积分中值定理,泰勒公式,函数的单调性,极值,最值,凸函数法等来证明不等式。
(三)在化学上的应用
在化学领域,用气相色谱仪和液相色谱仪做样品化学成分分析时,我们得到的并不是直观的数字结果,而是一张色谱图。色谱图是由一个一个的峰组成的,而我们进行定量计算的根据,就是这些峰的面积。而求这些峰的面积,就需要用到积分。现在的仪器里都集成了