文档介绍：第五章曲线坐标
前面各章主要是通过三维Euclid矢量空间V中引入标准正交
坐标系{o;i1, i2, i3}。并由这一标准正交坐标系的基底矢量
构成张量空间及张量,进而在张量空间的元素(张量)间
建立了各种运算及张量分析。由于自由矢量空间 V 中的元
素(自由矢量)不但可以通过一组标准正交基底 i1, i2, i3 线
性表示。而且任意一组线性无关的矢量 r1, r2, r3都可以用来
作为基底和线性表示 V 中的自由矢量。这样的任意线性无
关矢量组r1, r2, r3作为基底的 x ∈V 的线性表示:
的系数
的3元数称为 x ∈V 在基底r1, r2, r3上的坐标。
这里
的右上角标 i不是
的幂。通常称为
的上
标。
通常称为矢量 x ∈V 的曲线坐标。当r1, r2,
r3是相互正交的V中每一点都不变的单位矢量时,
称为 x ∈V的直角坐标。显然 x ∈V的曲线坐标
随基底的变化而不同。也正是这种变化使得对不同的物理
、力学问题,或是 Euclid 空间的某些几何属性采用不同的
曲线坐标,其数学表述形式上将会不同。同一问题的不同
曲线坐标描述有的更为直接,有的可能会很复杂。当然对
具体问题的数学表述越直接越好。这就要求在对具体问题
进行数学表述时应当首先选择一个好的曲线坐标(本质上
不同曲线坐标的同一问题表述都是等价的)。正是为了这
一目的,本章将对曲线坐标进行讨论。
设V是三维 Euclid 矢量空间。{o;i1, i2, i3}是V 中事先给定
的标准正交坐标系。或称为参考坐标系。对 x ∈V 有:
位置矢量 x = xi ii 在V0 中标定一点(x1, x2, x3)。作为约束
曲线坐标系
矢量空间Vx 中的所有矢量 ux x+y ,可以用Vx的线性无关矢
量rx1, rx2, rx3线性表示(rx1, rx2, rx3并不依赖i1, i2, i3的选取)
。在直角坐标系中所有位置矢量 x∈V0 确定的Vx的线性无
关矢量都取为:
更为一般的情况,Vx 的线性无关矢量 rx1, rx2, rx3 对不同的x
∈V是完全任意的。而曲线坐标系正是在完全任意的rx1, rx2
, rx3 ∈Vx 的所有Vx 约束矢量空间的线性无关基底间确定一
种关系而引入。
设 x∈V0 ,且:
o
A
x 3
x 2
x 1
x 3
x 2
x 1
x
i 2
i 1
i 3
r 3
r 2
r 1
图5-1
式中r1, r2, r3是x点Vx的一组基底(一
般是非正交、非单位长度)。
是将x平移使得x的起点至A点时的
矢量在 r1, r2, r3 基底上的线性表示系数(如图5-1所示)。
显然对给定的x,其系数x1, x2, x3是确定不变的。但
随r1, r2, r3不同的取值而变化的。当 x 取另一给定值时,同
样同样x1, x2, x3是确定不变的。但
随 r1, r2, r3 的不同
的取值而变化。尽管
;r1, r2, r3 对不同的x∈V0 的给
定值有不同的取值,但它们都是针对 x 的给定值对应的x1,
x2, x3 值而变。或者说:
(-1)
对确定的 x∈V0。( -1 ) 的函数形式可取不同形式。如果
在选取( -1 )的函数时,对每一位置矢量 x∈V0 都选同一
形式的函数:
(-2)
且
和x1, x2, x3在 x的取值域内是一一对应的。那么称
为x取值域内的一组曲线坐标。
例1:
设(-2)式的曲线坐标取为:
x的取值域为:
试画出曲线坐标系的几何示意图。
解:
由实函数理论可知在 x 的取值域内:
是一一对应的三个实函数,其反函数存在。且:
因此这一组三个函数是 x 取值域内的曲线坐标。
当
时:
x 1
x 2
x 3
x 2
A
o
x 3
x 1
图5-2
这是{o;i1, i2, i3}坐标系中的球面(本例中八分这一球面)。
当
时:
这是{o;i1, i2, i3}坐标系内顶点在o的锥面。
当
时:
这是{o;i1, i2, i3}坐标系内的过x3轴的平面。图5-2给出了
由
确定的A点处
三个曲面的交点。
所确定的
可以作为
处的矢量空间 Vx 的基底。即:
∵
∴
(-3)
(-4)
r1, r2, r3称为参考坐标系{o;i1, i2, i3}中位置矢量x处的局部
基。{ x;r1, r2, r3}称 x 处的局部坐标系。或称为 x 处的曲
线坐标系。
例2:
试求例1曲线坐标(球坐标)的局部基矢量。
解:
∵
∴
同理可得