文档介绍：第五章曲线坐标前面各章主要是通过三维Euclid矢量空间V中引入标准正交坐标系{o;i1,i2,i3}。并由这一标准正交坐标系的基底矢量构成张量空间及张量,进而在张量空间的元素(张量)间建立了各种运算及张量分析。由于自由矢量空间V中的元素(自由矢量)不但可以通过一组标准正交基底i1,i2,i3线性表示。而且任意一组线性无关的矢量r1,r2,r3都可以用来作为基底和线性表示V中的自由矢量。这样的任意线性无r1,r2,r3作为基底的x∈V的线性表示:的系数的3元数称为x∈V在基底r1,r2,r3上的坐标。这里的右上角标i不是的幂。通常称为的上标。通常称为矢量x∈V的曲线坐标。当r1,r2,r3是相互正交的V中每一点都不变的单位矢量时,称为x∈V的直角坐标。显然x∈V的曲线坐标随基底的变化而不同。也正是这种变化使得对不同的物理、力学问题,或是Euclid空间的某些几何属性采用不同的曲线坐标,其数学表述形式上将会不同。同一问题的不同曲线坐标描述有的更为直接,有的可能会很复杂。当然对具体问题的数学表述越直接越好。这就要求在对具体问题进行数学表述时应当首先选择一个好的曲线坐标(本质上不同曲线坐标的同一问题表述都是等价的)。正是为了这一目的,本章将对曲线坐标进行讨论。设V是三维Euclid矢量空间。{o;i1,i2,i3}是V中事先给定的标准正交坐标系。或称为参考坐标系。对x∈V有:位置矢量x=xiii在V0中标定一点(x1,x2,x3)。+y,可以用Vx的线性无关矢量rx1,rx2,rx3线性表示(rx1,rx2,rx3并不依赖i1,i2,i3的选取)。在直角坐标系中所有位置矢量x∈V0确定的Vx的线性无关矢量都取为:更为一般的情况,Vx的线性无关矢量rx1,rx2,rx3对不同的x∈V是完全任意的。而曲线坐标系正是在完全任意的rx1,rx2,rx3∈Vx的所有Vx约束矢量空间的线性无关基底间确定一种关系而引入。设x∈V0,且:oAx3x2x1x3x2x1xi2i1i3r3r2r1图5-1式中r1,r2,r3是x点Vx的一组基底(一般是非正交、非单位长度)。是将x平移使得x的起点至A点时的矢量在r1,r2,r3基底上的线性表示系数(如图5-1所示)。显然对给定的x,其系数x1,x2,x3是确定不变的。但随r1,r2,r3不同的取值而变化的。当x取另一给定值时,同样同样x1,x2,x3是确定不变的。但随r1,r2,r3的不同的取值而变化。尽管;r1,r2,r3对不同的x∈V0的给定值有不同的取值,但它们都是针对x的给定值对应的x1,x2,x3值而变。或者说:(-1)对确定的x∈V0。(-1)的函数形式可取不同形式。如果在选取(-1)的函数时,对每一位置矢量x∈V0都选同一形式的函数:(-2)且和x1,x2,x3在x的取值域内是一一对应的。那么称为x取值域内的一组曲线坐标。例1:设(-2)式的曲线坐标取为:x的取值域为:试画出曲线坐标系的几何示意图。解:由实函数理论可知在x的取值域内:是一一对应的三个实函数,其反函数存在。且:因此这一组三个函数是x取值域内的曲线坐标。当时:x1x2x3x2Aox3x1图5-2这是{o;i1,i2,i3}坐标系中的球面(本例中八分这一球面)。当时:这是{o;i1,i2,i3}坐标系内顶点在o的锥面。当时:这是{o;i1,i2,i3}坐标系内的过x3轴的平面。图5-2给出了由确定的A点处三个曲面的交点。所确定的在例1中可以看出在{o;i1,i2,i3}坐标系中的点{x1,x2,x3}可由给定的曲线坐标(-2)中的的三个曲面交点确定。一般地由(-2)曲线坐标:所确定的三个曲面称为过三曲面交点的曲线坐标面。曲面的交线;曲面的交线;曲面的交线分别称为曲线坐标线。设{o;i1,i2,i3}是三维Euclid矢量空间的标准正交坐标系;是曲线坐标;是点处的一组线性无关矢量,且:在标准正交坐标系中引入了Einstein求和约定:同一乘积项中角标(下标)重复且仅重复一次表示从1至3求和。在曲在曲线坐标的情况下这一求和约定修正为:同一乘积项中上标和下标重复且仅重复一次表示从1到3求和。为此将参考坐标系{o;i1,i2,i3}中x的坐标x1,x2,x3记为x1,x2,x3则:∵∴由于是一一对应的函数。因此有:这表明是线性无关的三个矢量。因此这三个矢量可以作为处的矢量空间Vx的基底。即:∵∴(-3)(-4)r1,r2,r3称为参考坐标系{o;i1,i2,i3}中位置矢量x处的局部基。{x;r1,r2,r3}称x处的局部坐标系。或称为x处的曲线坐标系。例2:试求例1曲线坐标(球坐标)的局部基矢量。解:∵∴同理可得:显然球坐标的基底