第12讲 拉普拉斯变换及性质.pdf

文档介绍：§ 引言
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为了解决对不符合狄氏条件信号的分析,第三章中引
入了广义函数理论去解释傅里叶变换,同时,还可利
用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围.
•优点在于:
求解比较简单,特别是对系统的微分方程进行变换
时,初始条件被自动计入,因此应用更为普遍;
•缺点在于:
物理概念不如傅氏变换那样清楚。
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•以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于:它
给出的结果有着清楚的物理意义。
但也有不足之处:①傅里叶变换只能处理符合狄
利克雷条件的信号,而有些信号是不满足绝对可积条
件的,因而其信号的分析受到限制; 
f t dt 

②另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行
的无穷积分求解困难。
1 
f (t)  Fe j td F 1 f (t)
2
3
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换,然后对拉氏正
变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于,以拉氏变换为工具对系统进行复频
域分析。
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念,并根据他
们的分布研究系统特性,分析频率响应,还要简略介绍
系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比,便于理解与记忆。
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§ 拉普拉斯变换
5
主要内容
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
拉氏变换的收敛
一些常用函数的拉氏变换
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信号 f (t), 乘以衰减因子 e t (为任意实数)后容易满足
绝对可积条件, 依傅氏变换定义:

 t  t  jt
F1  F f() t e f (t )e e dt


f( t )e()jt d t  F() j

令:js , 具有频率的量纲, 称为复频率。

则 Fs f tes tdt

7


F s f t estd t

 f t e t是 F j 的傅里叶逆变换:
1 
f t et  F j  e j t d 
2
 t 1 
两边同乘以 e f t F j e jt d
2
其中:j  s ; 若取常数, 则 d s  j d 
j 
积分限:对::对s
j 
1 j
f t F s e st d s
2 j j
8


F s L f t f t e st d t 正变换

 1 j
 f t L1  f t F s est d s 逆变换
j
 2 j
记作: f t Fs f t称为原函数, F s称为象函数。

考虑到实际信号都是有起因信号:F f te j t dt
0
采用 0系统,相应的单边拉氏变换为

Fs L f t f tes t d t
0

 1  j
 f t L1 f t Fse s t d s
 j
 2j 9
(重在单边~)
收敛域:使F(s)存在的s的区域称为收敛域。
记为:ROC(region of convergence)
实际上就是拉氏变换存在的条件;
 t j
lim f (t)e  0  0 
t收敛轴
收敛区
收敛坐标

 0 O
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