文档介绍：求极限
极限的定义: (唯一性、局部保号性、局部有界性)
若,则有f(x)>0。
极限存在的充要条件:
求极限的方法
四则运算
若,,则
(1).
(2).
(3).若,则
若,不存在,则一定不存在,不一定存在。
例:
若存在,则,都存在或者都不存在。
若,,则一定存在。
函数的连续性
f(x)在是处连续的。
初等函数在其定义域内都是连续的。
两个重要的极限:, (证明过程)
洛必达、泰勒公式(求未定式)
以上指数形式用对数转化,即=
若不存在,也不是,则一定不存在。
设f(x)在有定义且在出有n阶导数,则,有
n阶具有皮亚诺余项的泰勒公式
特别是x=0时,f(x)为n阶具有皮亚诺余项的麦克劳林公式。
此时f(x)多为
n阶具有皮亚诺余项的麦克劳林公式至多展开至3阶。
用等价无穷小替换
等价无穷小概念:若,则f(x)为无穷小。
无穷小的比较:高阶、低阶、等阶、同阶
不存在且不是无穷大也不是无穷小,因为、x不能比较
无穷小的性质:
(1).则
(2).,则
若,则有
整体因式相乘除时可以用等价无穷小替换,局部因式相加减或乘除时,不能替换。
常用的等价无穷小:
夹逼定理(数列、函数)
若{},{},{}满足①,②,则有
若f(x),g(x),h(x)在满足①,②,则。
利用定积分的某些数列和的极限
f(x)在C[a,b]上连续或f(x)在C[a,b]上有有限个第一类间断点或f(x)在C[a,b]上单调,则必存在,且
若a=0,b=1,则
用导数的定义求极限
利用级数的收敛性证明数列的极限为零。
若收敛,则。
二、间断点类型
(x)在内无定义
2. f(x)在有定义,但不存在
3. f(x)在有定义,且存在,但
存在,则为第一类间断点(可信间断点、跳跃间断点);否则为第二类间断点(无穷间断点、震荡间断点)。
导数
导数的概念:舍f(x)在有定义,若存在,则f(x)在x处可导记作
几何意义:切线方程
法线方程
可微:若f(x)在U()有定义,若;若,则f(x)在x=出可微分,记作,即可导必可微,可微必可导。
微分的含义:表示曲线f(x)过,点切线纵坐标的增量,且
运算
(1).基本初等函数的求导公式
(2).导数的四则运算
(3).复合函数的求导法则
若对u可导,对x可导,则对x可导,且
(4).隐函数的求导
(5).参数方程的求导设
(6).反函数的求导(
(7).变上限积分函数的求导公式(定理)
变上限积分函数的求导:设f(x)在[a,b]上连续,则
变下限积分函数的求导:设f(x)在[a,b]上连续,则
定理的证明:高等数学(上) 掌握全部给出证明过程的定理的证明。
(1).罗尔中值定理
(2).拉格朗日中值定理
(3).柯西中值定理
(4).具有拉格朗日余项的型的n阶泰勒中值定理
设f(x)在有(n+1)阶导数,则,有
其中
特别当时,具有拉格朗日余项的麦克劳林式
数学(一)中最多展开至2阶(余项为3阶),常用的是展开至1阶(余项为2阶),且展开点多为
应用
驻点、拐点、极值点、最值点(了解与上述点的关系)
使的点为驻点。
拐点:设f(x)在连续,若f(x)在的两侧凹凸性