高等数学讲义(基础班).doc

文档介绍：第一章求极限极限的定义: Axf x??)( lim [] (唯一性、局部保号性、局部有界性) 若0?A ,则([]) 0Ux?有 f(x)>0 。极限存在的充要条件: )()()( lim lim lim xfxfAxf xxxx xx??????求极限的方法 1. 四则运算若Axf x??)( lim [],Bxg x??)( lim [] ,则(1).BAxgxfxgxf xx????????)]()([)()( lim lim lim [] []x [] (2).BAxgxfxgxf xxx????????)()()()( lim lim lim [] [] [] (3). 若0?B ,则 B Axg xfxg xf x xx?????)( )()( )( lim lim lim [] [] []若Axf x??)( lim [],)( lim []xg x?不存在,则)()( lim []xgxf x??一定不存在,)()( lim []xgxf x??不一定存在。例: 0 1 sin lim 0???x x x若]()([ lim []) xgxf x??存在,则)( lim []xf x?,)( lim []xg x?都存在或者都不存在。若Cxgxf x???)]()([ lim [],Axf x??)( lim [] ,则)( lim []xg x?一定存在。 2. 函数的连续性???)()( 0 lim 0xfxf xx f(x) 在 0x 是处连续的。初等函数在其定义域内都是连续的。两个重要的极限: 1 sin lim 0??x x x,ex x x???) 11 lim( 0 (证明过程) 3. 洛必达、泰勒公式(求未定式型, , , , , ,????????001-0 0 00) 以上指数形式用对数转化,即)( [])( lim xgxxf ?= Ae xgxfxe??)()( ln lim [] 若' ' [])( )( lim xg xf x?不存在,也不是?,则' ' [])( )( lim xg xf x?一定不存在。设 f(x) 在)( 0xU 有定义且在 0x 出有 n 阶导数,则)( 0xUx??,有)((! )()x(!2 )()()(()( 0 n0 )(0 20 ''00 '00xxOxxn xfx xfxxxfxfxf n????????????) ) n 阶具有皮亚诺余项的泰勒公式特别是 x=0 时, f(x) 为n 阶具有皮亚诺余项的麦克劳林公式。) ,( nmxoxoxo mmn????0)()()( 此时 f(x) 多为 xxxe x cos , sin ),1 ln( ,? n 阶具有皮亚诺余项的麦克劳林公式至多展开至 3 阶。 4. 用等价无穷小替换等价无穷小概念:若 0)( lim []??xf x ,则 f(x) 为无穷小。无穷小的比较:高阶、低阶、等阶、同阶 x x sin lim []x?不存在且不是无穷大也不是无穷小,因为 x sin x?、x 不能比较无穷小的性质: (1). ),(~)(xgxf 则)(~)(xfxg (2).)(~)( ),(~(xhxgxgxf) ,则)(~)(xhxf 若)()()()( 1 [] [] 1 [] [] lim lim lim lim xx