文档介绍：第五章方差分析与试验设计
在生产实践和科学试验中, 经常需要处理试验数据,
我们经常发现, 试验条件的不同, 得到的试验结果不同,
有时在相同的试验条件下, 也会得到不同的试验结果.
那么, 自然要问, 试验结果之间的差异到底是由什么原
因造成的? 是由于试验条件的不同所引起的? 还是由于
试验误差所引起的? 如果是由于试验条件的不同所引起
的, 那么对试验指标最有利的试验条件即因素的水平应
该如何来取? 方差分析与试验设计是处理这类问题的一
种数学方法.
本章主要介绍单因素试验的方差分析, 两因素的方
差分析及试验设计的基本方法.
§ 单因素方差分析
►几个概念
1. 指标与因素
通常把生产实践与科学实验中的结果, 如产品的性
能、产量等统称为指标, 影响指标的因素用 ABC,,,
表
示.
2. 水平
1
因素在试验中所取的不同状态称为水平, 因素 A 的
不同水平用 AA12,,
表示.

在一项试验中, 如果让一个因素的水平变化, 其他
因素水平保持不变, 这样的试验叫做单因素试验.
4. 单因素试验的方差分析
处理单因素试验的统计推断问题称为单因素方差分
析或一元方差分析. 类似地可定义多因素方差分析. 本
节先介绍单因素方差分析.
例有 5 种油菜品种, 分别在 4 块试验田上种植,
所得亩产量如表所示(单位: kg ).
表
田块 1 2 3 4
品种
A1 256 222 280 298
A2 244 300 290 275
A3 250 277 230 322
A4 288 280 315 259
A5 206 212 220 212
试问: 不同油菜品种对平均亩产影响是否显著.
例某种型号化油器的原喉管结构油耗较大, 为
节约能源, 设想了 2 种改进方案以降低油耗指标―比油
耗. 现对用各种结构的喉管制造的化油器分别测得如表
2
的数据.
表原始数据表
指标
水平比油耗

A1 :原结构
A2 :改进方案 I
A3 :改进方案 II
试问:喉管的结构对比油耗的影响是否显著.
从例和例可以看出, 在因素 A 的不同水平下,
试验数据之间存在有差异, 即使在因素 A 的同一个水平
下, 试验数据之间同样存在差异. 那么, 试验数据之间的
差异到底是由于因素的水平变化所引起的呢? 还是由于
随机误差的干扰所引起的呢? 如果是由于因素的水平改
变所引起的, 那么因素取什么水平, 对试验指标最有利?
这就是方差分析所要解决的问题. 下面给出这个问题的
数学模型及统计推断方法.
一、数学模型
设在一项试验中,因素 A 有 r 个不同水平 A12,,AA
r ,
在水平 Ai 下的试验结果 X i 服从正态分布
2
N ()µi ,σ(ir= 1, 2,
, ) ,
且 X1 ,,
X r 相互独立.
3
现在水平 Ai 下做了 ni 次试验, 获得了 ni 个试验结果
X ij()jn= 1, 2,
, i , 它可以看成是取自总体 X i (ir= 1, 2,
, )
的一个样本(见表 ).
表
总体样本样本平均

X
X1 X11 X12 1 n 1 X1

X
X 2 X 21 X 22 2 n 2 X 2

X
X r X r1 X r 2 rnr X r
2
由于 X ij 服从正态分布 N ( µi ,σ) , 故 X ij 与µi 的差可以
2
看成一个随机误差ε ij , ε ij 服从正态分布 N (0,σ)
()irjn==1, 2,
, , 1, 2, , i .于是
单因素方差分析的数学模型可以表示为
⎪⎧ X ij=+µ iε ij
⎨, ir= 1, 2,
, ,j = 1, 2, , n ()
ε∼ N 0,σ 2 i
⎩⎪ ij ()
其中诸ε ij 相互独立. 我们的任务是检验上述同方差的 r
个正态总体的均值是否相等, 即检验假设:
HH01::,,,µ ===↔µµ 2
rr 112 µµµ中至少有两个