文档介绍：浅谈数学解题中的“化归”

所谓“化归”,从字面上看,可理解为转化和归结的意思. 化归方法是将待解决或未解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去,最终获得原问题解答的一种手段和方法,可以说,解决一个数学问题其实质就是如何化归.
化归是解数学题的一种重要思维方法,加强这方面的训练,有利于培养学生思维的灵活性,提高学生的解题速度和数学能力. 本文结合例题来说明几种常见的数学化归途径,以起到抛砖引玉的作用.
一、抽象问题与具体问题化归
由于中学生的形象思维比较成熟,而抽象思维能力较差,因此解题时,对于抽象问题的思考往往比较困难. 如果我们能把一些抽象问题化归为具体问题考虑,那么问题就容易解决得多了.
例1:已知等差数列的公差d≠0,且、、成等比数列,则的值是.
学生思维:由于给出的数列是一个抽象数列,因此有些学生无从着手. 有些学生从已知条件得,解得a、d的关系后,代入所求式子:,虽然也能求解,但计算较繁,易错,所花时间长.
化归引导:由题意知,只要满足、、成等比数例的条件,取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的. 因此,可把抽象数列化归为具体数列. 比如,可选取数列,则.
例2:已知是公差不为零的等差数列,如果Sn是的前n项的和,那么等于.
学生思维:同上例一样,不会把抽象问题化归为具体问题的学生,只能死套公式,将等差数列的通项公式和前n项和的公式,代入所求极限式,约简后,再求解. 这样,花费时间较多,如果公式记错,或计算有误,更会导致错解.
化归引导:只要取,则d≠0,符合题设,∴
.
二、复杂问题与简单问题化归
有的数学问题着上去比较复杂,尤其是竞赛题. 如果我们善于对问题的形式的特征进行观察,提炼其特征,把复杂问题化归为简单问题,从而使问题得以解决.
例3:函数的最大值是.
学生思维:配方,,
然后就束手无策了. 关键是对函数的几何意义不清楚,无法化归.
化归引导:配方后知,函数的几何意义是在抛物线
上的点分别到点A(3, 2)和点B(0, 1)的距离之差,因点
A在抛物线下方,点B在抛物线上方,故直线AB与抛物线相交. 交点由
决定,消去y,得,由于该方程常数项为负,故必有负根. 因三角形两边之差小于第三边,故当点P位于负根所对应交点C时,有最大值|AB|=.
例4:设AB为过椭圆中心的弦,F1为左焦点,
求△ABF1的面积的最大值.
学生思维:设AB的方程为,与椭圆方程
联立求出|AB|,又求出点F1到AB的距离d,再建立△ABF1的面积函数求最大值,这样解也行,但计算量较大,容易出错.
化归引导:考虑到对称性,取右焦点F2,连结AF2、BF2,则四边形AF1BF2为平行四边形,△ABF1和△AF1 F2的面积均为AF1BF2的面积的一半,所以命题化归为求△AF1 F2的面积的最大值,又| F1 F2|=6,命题又化归为求||的最大值,而|,至此知的最大值为12.
三、一般问题与特殊问题化归
数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,这就需要我从有时把一般问题化归为特殊问题,有时把特殊问题化归为一般问题. 其解题模式是:首先设法使问题特殊(或一般)化降低难度,然后,解这个特殊(或一般)性的问题,从中获得信息,再运用类此