文档介绍：一些常见微分方程的建立
微分方程模型的建立一般都从下面两个角度考虑入手:一是模型中所考虑的量的变化率受哪些因素影响,由此列出微分方程;另外一种办法是“微元法”,考虑单位时间内的变化,再取极限。
一般来说,实际问题都是很复杂的,掺入了很多的随机因素。因此,在我们建立模型的过程中,我们都需要进行合理的假设;在考虑问题时抓住主要的因素-------这是最要紧的。下面我们通过一些例子来体会这一方法。
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过滤问题
在供水、化工生产等过程中,都有一个对液体进行过滤,除去渣滓的问题。现以过滤式净水器的使用为例,来建立相应的数学模型。
要对液体进行过滤,首先要设置一个由过滤物质组成的过滤层(称为滤芯)。
在过滤的过程中,水中的杂质沉积在过滤层上,也成为过滤层的一部分。
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模型假设:
1、假设杂质在水中的含量和进水的压力都是常数,那么杂质沉积的厚度与累积的总滤出量
成正比。
2、流速的减少与杂质沉积的厚度成正比。
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模型建立:
根据上面的假设,设初始时刻的流速为
由导数的意义即知t时刻的流速应当是。
从而流速的减少量为,由上所述,它应与总滤出量成正比。这样,就得到了它的数学模型为
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模型求解:
解上述微分方程即得累积的总滤出量为
模型分析:
因为和
可以知道,在定压的过滤过程中,并不是想过滤多少就可以不受限制地过滤多少,其流出的总量是有上限的。在流量接近这个上限的时候,其流速将趋于零,也就是说,此时杂质已沉积得过厚,需要清洗或更换滤芯了。
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