文档介绍：第七章 数学技术方法在水文学中的应用
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水文学中常用的数值方法
参数率定常用的数学方法
参数灵敏度分析的数学方法
主要内容
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水文学中常用的数值方法
有限差分法
有限差分法的基本思想:把微分方程连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,然后用各离散格点上待求函数的差商来近似代替该点的微商,原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
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有限差分法概述
差分的格式:在精度上分为一阶格式、二阶格式和高阶格式;在空间上分为中心格式和逆风格式;在时间上分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
构造差分格式的方法一般有三种:(1)数值微分法;(2)积分插值法;(3)待定系数法。
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差分的基本概念
一阶差商的定义式为:
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那么当增量h很小时,我们可以用差商来近似代替微商,即:
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差分形式又分为三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分。其中,中心差分的截断误差最小。
对于二阶微商同样也可以用二阶差商来近似表示,即:
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有限差分法的求解过程
有限差分法的求解过程为:
首先,将原微分方程离散化为差分方程组。
其次,差求解分方程组。
另外,为了保证计算过程的可行和计算结果的正确,还需从理论上分析差分方程组的性态,包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。
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有限单元法
有限单元法的基本思想是:首先,利用变分原理把所要求解的边值问题的微分方程化为与之等价的泛函求极值的变分问题;然后,将定解区域划分为有限个互不重叠的子单元,并利用剖分插值把变分问题近似地化为多元函数的求极值问题,从而得到一个线性代数方程组,即所谓的有限元方程;最后,求解得到原问题的数值解。
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有限单元法概述
有限单元法的计算格式:按计算单元网格划分为三角形网格、四边形网格和多边形网格;按权函数不同可划分为配置法、矢量法、最小二乘法和伽辽金法;按差值函数的精度可划分为线性插值函数和高次插值函数等。
单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标,有对称和不对称等。
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变分的基本概念
这里需要首先介绍一下泛函的概念。泛函就是函数的函数,表示的是一个变量随某个函数而变化的关系。例如:
S( )=
()
S( )的值取决于函数(x),因此,S( )就称为函数(x)的泛函。
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