高数第九章 方向导数与梯度.ppt

文档介绍：第九章
第七节
一、方向导数
二、梯度
三、物理意义
方向导数与梯度
一、方向导数
定义: 若函数
则称
为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
在点
处
沿方向 l (方向角为
) 存在下列极限:
记作
定理:
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在,
证明: 由函数
且有
在点 P 可微,
得
故
对于二元函数
为, ) 的方向导数为
特别:
•当 l 与 x 轴同向
•当 l 与 x 轴反向
向角
例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数.
解: 向量 l 的方向余弦为
例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
解: 将已知曲线用参数方程表示为
它在点 P 的切向量为
例3. 设
是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量,
解:
方向余弦为
而
同理得
方向
的方向导数.
在点P 处沿
求函数
二、梯度
方向导数公式
令向量
这说明
方向:f 变化率最大的方向
模: f 的最大变化率之值
方向导数取最大值:
1. 定义
即
同样可定义二元函数
称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度
记作
(gradient),
在点
处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:
向量
其中
称为向量微分算子或 Nabla算子.
( 为方向l 上的单位向量)
2. 梯度的几何意义
称为函数 f 的等值线或等高线.
则L*上点P 处的法向量为
举例
函数在一点的梯度垂直于该点等值线,
指向函数增大的方向.
同样,
的等值面(等量面).
当其各偏导数不同
其上点 P 处的法向量为
称为
时为零时,