文档介绍：难点11 函数中的综合问题
函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,,掌握基本解题技巧和方法,并培养考生的思维和创新能力.
●难点磁场
(★★★★★)设函数f(x)的定义域为R,对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=-4.
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)在区间[-9,9]上,求f(x)的最值.
●案例探究
[例1]设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1、x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.
(1)求f()、f();
(2)证明f(x)是周期函数;
(3)记an=f(n+),求
命题意图:本题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,还考查运算能力和逻辑思维能力.
知识依托:认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到问题的突破口.
错解分析:不会利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形.
技巧与方法:由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为是解决问题的关键.
解:因为对x1,x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=≥0,
x∈[0,1]
又因为f(1)=f(+)=f()·f()=[f()]2
f()=f(+)=f()·f()=[f()]2
又f(1)=a>0
∴f()=a,f()=a
(2)证明:依题意设y=f(x)关于直线x=1对称,故f(x)=f(1+1-x),即f(x)=f(2-x),x∈R.
又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),x∈R
∴f(-x)=f(2-x),x∈R.
将上式中-x以x代换得f(x)=f(x+2),这表明f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个
周期.
(3)解:由(1)知f(x)≥0,x∈[0,1]
∵f()=f(n·)=f(+(n-1) )=f()·f((n-1)·)
=……
=f()·f()·……·f()
=[f()]n=a
∴f()=a.
又∵f(x)的一个周期是2
∴f(2n+)=f(),因此an=a
∴
[例2]甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
命题意图:本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识,还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.
知识依托:运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.
错解分析:不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题,易忽略对参变量的限制条件.
技巧与方法:四步法:(1)读题;(2)建模;(3)求解;(4)评价.
解法一:(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=a·+bv2·=S(+bv)
∴所求函数及其定义域为y=S(+bv),v∈(0,c.
(2)依题意知,S、a、b、v均为正数
∴S(+bv)≥2S ①
当且仅当=bv,即v=时,①≤c则当v=时,有ymin;
若>c,则当v∈(0,c时,有S(+bv)-S(+bc)
=S[(-)+(bv-bc)]= (c-v)(a-bcv)
∵c-v≥0,且c>bc2,∴a-bcv≥a-bc2>0
∴S(+bv)≥S(+bc),当且仅当v=c时等号成立,也即当v=c时,有ymin;
综上可知,为使全程运输成本y最小,当≤c时,行驶速度应为v=,当>c时行驶速度应为v=c.
解法二:(1)同解法一.
(2)∵函数y=x+ (k>0),x∈(0,+∞),当x∈(0,)时,y单调减小,当x∈(,+∞)时y单调增加,当x=时y取得最小值,而全程运输成本函数为y=Sb(v+),v∈(0,c.
∴当≤c时,则当v=时,y最小,若>c时,则当v=c时,.
●锦囊妙计
在解决函数综合问题时,要认真分析、处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决,尤其是注意等价转化、分类讨论、,必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件.
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