文档介绍：第四章非平稳时间序列模型
第三节协整cointegration

多数情况下, 2个I(1)过程的线性组合成为一个 I(1)过程。一般来说, 对不同阶数的单整过程进行线性组合, 将得到一个阶数等于该组合中的最高阶单整过程阶数的过程. .,
如果 Xi,t ~ I(di) for i = 1,2,3,...,k

则 zt ~ I(max di)——不过这并不是绝对的,协整情况是个例外。
整理上个方程, 得

其中

如果使用数据对其OLS回归,所有的Xi都是I(1)的话,误差项: zt将是非平稳的,而且是序列相关的,可能出现伪回归.
要使回归有意义,必须保证误差项为 I(0). 在什么情况下误差项为 I(0)?
协整的定义(Engle & Granger, 1987)
zt 为 k´1 向量,称 zt 中的元素为(d,b)阶协整—记作CI(d,b),如果,
i) zt 中所有元素都为 I(d)
ii) 至少存在一个参数向量 a 使得 a ¢zt ~ I(d-b)
常用的是,d=b=1,即 zt 中的变量本来是 I(1) 的,存在a 使得 a ¢zt 变成 I(0) 的。换言之,如果 I(1) 变量之间是协整的,那么它们的一个线性组合将会是平稳的.
协整关系可以看作是一种长期关系. 许多时间序列是非平稳的,但是他们具有相同的运动趋势.
例:教材中的19章图1
例:Log Real Stock Price and Dividad Senis, Annual US Data, 1872 to 1994
如果两个变量都是单整I(d)变量,只有当它们的单整阶数d相同时,才可能协整;如果它们的单整阶数不相同,就不可能协整。
不过,三个以上的变量,即使具有不同的单整阶数,也有可能协整。例如,如果存在:
并且
那么,

在金融中很多情况下可能存在协整关系,例如:
即期价格和期货价格
相对价格比率和汇率
股票的价格和分红
在金融市场上的无套利条件确保了上述均衡关系的存在.
不存在协整意味着序列会到处漫游,而不存在长期的共同的关系.
一般用协整来研究资产的价格(不是资产的收益率)。当资产的价格是随机游走时,在一段时间之后该价格可以到达任何位置, 因为随机游走的无条件方差是无穷大。所以对单一资产的价格建模没有意义, 对将来价格的最好预测就是今天的价格.
但是,对2个或多个资产的价格建立协整模型却是有意义的,因为我们可以通过协整发现关于价格系统中长期均衡的信息。
协整与相关是有联系但又不相同的概念。高度相关并不意味着高度协整, 高度协整也不意味着高度相关。相关在本质上是对短期关系的一种度量,而协整是对长期关系的度量。例如,建立在协整分析之上的套期保值从长远来说比建立在传统的相关分析之上的更加有效.
第四节误差修正模型( ECM )

对于非平稳时间序列,可通过差分的方法将其化为平稳序列,然后才可建立回归分析模型。
如:建立人均消费水平(Y)与人均可支配收入(X)之间的OLS回归模型:
如果二者都非平稳,差分
,其中vt= mt- mt-1
这样保证OLS统计量的良好性质。然而,这种做法会引起两个问题:
(1) 如果X与Y间存在着长期稳定的关系,
Yt=a0+a1Xt+mt
且误差项mt不存在序列相关,则差分式
DYt=a1DXt+nt
中的nt是一个一阶移动平均时间序列,因而是序列相关的;
(2) 如果采用差分形式进行估计,则关于变量水平值的重要信息将被忽略,这时模型只表达了X与Y间的短期变化量之间关系,而没有揭示它们间的长期关系。
因为从长期均衡的观点看,Y在第t期的变化不仅取决于X本身的变化,还取决于X与Y在t-1期末的状态,尤其是X与Y在t-1期的不平衡程度。
解决这个问题的一个方法是建立误差修正模型( ECM )。误差修正模型(Error Correction Model,简记为ECM)是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的,称为DHSY模型。通过一个具体的模型来介绍它的结构。
假设两变量X与Y的长期均衡关系为:
Yt=a0+a1Xt+mt
由于现实经济中X与Y很少处在均衡点上,却不会偏离均衡关系太远,因此假设具有如下分布滞后形式
该模型显示出第t期的Y值,不仅与X的变化有关,而且与t-1期X与Y的状态值有关。
由于变量可能是非平稳的,因此不能直接运用OLS法。对上述分布滞后模型适当变形得
其中

表明:Y的变化决定于X的变化以及前一时期的偏离均衡的幅度。同时,这也弥补了简单差分模型DYt=a1DXt+nt的不足,因为该式含有用X