文档介绍：闭环零极点及偶极子对系统性能的影响
综述
在自动控制系统中,对系统各项性能如稳定性,动态性能和稳态性能等有一定的要求,稳定性是控制系统的本质,指的是控制系统偏离平衡状态后自动恢复到平衡状态的能力。系统动态性能是在零初始条件下通过阶跃响应来定义的,对于稳定的系统,动态性能一般指系统的超调量、超调时间、上升时间、调整时间,描述的是系统的最大偏差以及反应的快速性;稳态性能指的是系统的稳态误差,描述的是系统的控制精度。
在本文中,采用增加或减少零极点以及高阶零极点的分布来研究高阶系统的各项性能指标,并借助工程软件matlab通过编程来绘制系统的冲激响应、阶跃响应、斜坡响应及速度响应曲线,研究系统的零极点及偶极子对系统性能的影响。
稳定性分析
稳定性是指控制系统偏离平衡状态后,自动恢复到平衡状态的能力。系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。
线性定常系统稳定的充分必要条件:闭环系统特征方程的所有根都具有负实部,或者说闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分(不包括虚轴)。
因此研究零极点及偶极子对系统稳定性的影响即研究系统的极点是否都具有负实部,而不必关心系统的零点情况。若系统的极点都具有负实部,则系统是稳定的。否则,系统就不稳定。
为了用matlab对上述结论进行验证并根据上述稳定性的定义,下面用
函数作为扰动来讨论系统的稳定性。如果当t趋于∞时,系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状态,即,该系统就是稳定的。
设系统的闭环传递函数为:
当系统分别增加(s+5),(s-5),1/(s+2),1/(s-2),(s+3)/(s+),(s-
3)/(s-)等环节时,画出各自的冲激响应曲线如图1.
注:matlab源程序见附录1.
图1
由以上matlab仿真结果可以看出,当增加(s+5),(s-5),1/(s+2),(s+3)/(s+)等环节时,c(s)最终能收敛到原来的零平衡状态,系统稳定。而当增加1/(s-2),(s-3)/(s-)等环节时,c(s)最终趋于无穷,系统不稳定。完全符合上述讨论。
动态性能分析

高阶系统的闭环传递函数一般表示为:
设系统闭环极点均为单极点(实际系统大都如此),
单位阶跃响应的拉氏变换式为:
对于上式求拉氏反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为:
闭环极点离虚轴越远,表达式中对应的暂态分量衰减越快,在系统的单位阶跃响应达到最大值和稳态值时几乎衰减完毕,因此对上升时间、超调量影响不大;反之,那些离虚轴近的极点,对应分量衰减缓慢,系统的动态性能指标主要取决于这些极点所对应的分量。
从c(t)的表达式还可以看出,各暂态分量的具体值还取决于其模的大小,有些分量虽然衰减慢,但模值小,所以对超调量等影响较小,而有些分量衰减得稍快些,但模值大,所以对超调量等影响仍然很大。
因此,系统的零极点的分布对系统的影响如下:
①若某极点远离虚轴与其它零、极点,则该极点对应的响应分量较小。
②若某极点邻近有一个零点,则可忽略该极点引起的暂态分量。这样的零极点即为偶极子。
③若偶极子靠近虚轴,则不可忽略该极点引起的暂态分量。

设有如下几个闭环传递函数:

现用matlab分别画出其阶跃响应曲线如图2,图3和图4:
注:matlab源程序见附录2.

图2

图3
图4
通过以上matlab仿真结果可以发现,Φ1和Φ2的阶跃响应曲线基本重合,
Φ3与Φ4的阶跃响应曲线基本重合,Φ3和Φ4的阶跃曲线相差较大,完全符合理论分析

忽略上述两类极点所引起的暂态分量后,一般剩下为数不多的几个极点所对应的暂态分量。这些分量对系统的动态特性将起主导作用,这些极点通常称为主导极点。而在控制过程中,通常要求控制系统既具有较高的反应速度,有不要是超调太大,往往将系统设计成具有适当超调的衰减振荡。因此,很多系统常常取一对共轭复数闭环极点作为主导极点。下面针对这种情况研究闭环零极点对系统性能的影响,并用matlab进行仿真验证。

设高阶系统的主导极点为s1,2=-σ+ω,则单位阶跃响应可近似为
因为系统有两个主导极点s1和s2共轭,所以与共轭,即
因此有
,绘制一个高阶系统零极点示意图,如图5
图5
超调时间
由超调量和超调时间的定义,得
则
其中
从图5看出, ,所以
则
实际上,从零极点图上可以直接量取wd、θzi、θsi等,然后由上式计算超调时间tp。
分析上式可以得到下列几点结论: