文档介绍：二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼兹公式一、引例第二节微积分的基本公式第五章一、引例在变速直线运动中, 已知位置函数)(ts与速度函数)(tv之间有关系:)()(tvts??物体在时间间隔],[21TT内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT???这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性..)()(的原函数是这里tvts)(xfy?xbaoy)(x?xhx??二、积分上限的函数及其导数,],[)(baCxf?则变上限函数???xattfxd)()(证:,],[,bahxx???则有hxhx)()(?????h1??????xahxattfttfd)(d)(???hxxttfhd)(1)(?f?)(hxx????hxhxh)()(lim0??????)(lim0?fh??)(xf?)(x???.],[)(上的一个原函数在是baxf],[)(baCxf??说明:1) 定理1 ) 变限积分求导:?bxttfxd)(dd)(xf???)(d)(ddxattfx?)()]([xxf????同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.?)()(d)(ddxxttfx??)()]([)()]([xxfxxf??????????????????)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx????????xxbabadxxfdxddxxfdcddxxfdadsin2)(.3)(.2)(.1:求下列导数练习)(af?0xxfcos)(sin)(22xxf???????x06dttxfxF??????x05dtttfxF?????????x07dttftxxF??????xxfdttfxFx06????????????????????????x0x0x0/7dttf'dtttfdttfxxF????xxfxF5??例1. 求0lim?xtextd1cos2??2x解:原式0limx??00P240-8)sin(2cosxex???0lim???xx2e21?21cosdxte t???2x例2. 确定常数a , b , c的值, 使).0(d)1ln(sinlim20??????ccttxxaxbx解:,0sin0???xxax时,?,0???b00原式=)1ln(coslim20xxax???cxxax????20coslimc≠0 , ?a又由221cos1xx?~, ?c?ttftxfxd)()(0??例3. ,0)(,),0[)(???xfxf且内连续在设证明?)(xFttftxd)(0?ttfxd)(0?在),0(??内为单调递增函数. 证:??)(xF??20d)(ttfx?ttfxfxxd)()(0???20d)(ttfx?ttfxfxd)()(0?)(tx?0?.)0)(内为单调增函数,(在???xF只要证0)(??xF???20d)(ttfx?xfx)()(????)(xf)0(x???P239-7证,1)(2)(0????dttfxxFx,01)0(???F???10)(1)1(dttfF???10)](1[dttf,0?令F(x)在[0,1]上连续,且,0)(2)(????xfxF?又),1)((?xf?)(xF在]1,0[)(?xF即原方程在]1,0[、牛顿–莱布尼兹公式上的一个原在是连续函数设],[)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba???( 牛顿- 莱布尼兹公式)证:根据定理1,,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa?故CxxfxFxa???d)()(,ax?令,)(aFC?得因此)()(d)(aFxFxxfxa???,bx?再令得)()(d)(aFbFxxfba???记作??)(xFab)(xF?,则