文档介绍：《复变函数与积分变换》作业参考答案
习题1:
4、计算下列各式
(1) ; (3) ;
(5) ,求,,; (7) 。
解:(1) ;
(3) ;
(5) ,
,
.
(7) 因为,所以
,
即
时,;
时,;
时,;
时,;
时,;
时,.
习题2:
3、下列函数在何处可导?何处解析?在可导点求出其导数.
(2) ; (4)
(6) 。
解:(2) 因为,,
,,,.
这四个一阶偏导数都连续,故和处处可微,但柯西-黎曼方程仅在上成立,所以只在直线上可导,此时,但复平面上处处不解析.
(4) 因为,,
,,,.
这四个一阶偏导数都连续,故和处处可微,且满足柯西-黎曼方程,所以在复平面内解析,并且
.
(6)
所以,在除外处处解析,且.
4、指出下列函数的奇点.
(1) ; (2) .
解:(1)
所以,的奇点为0,.
(2)
所以,的奇点为,.
10、如果在区域内解析,并且满足下列条件之一,试证在内是一常数.
(2) 在内解析;
证明:由在区域内解析,知、在区域内可微,且,.同理,由在内解析,知,.
从而我们得到,所以、皆为常数,故在内是一常数.
15、求解下列方程:
(2)
解:,于是
18、求,的值及主值.
解:,所以其主值为;
,所以其主值为.
19、求,,,的值.
解:;
;
;
.
20、求,,,,的值.
解:;
;
;
;
22、解方程:
(1) ;
解:,.
习题3:
1、沿下列路径计算积分:
(1) 从原点至的直线段;
(2) 从原点沿实轴至2,再由2铅直向上至;
(3) 从原点沿虚轴至,再由沿水平方向向右至.
解:(1) 从原点至的直线段的复参数方程为,,参数,所以
(2) 从原点沿实轴至2的直线段的复参数方程为,参数,由2铅直向上至的直线段的复参数方程为,参数,所以
(3) 从原点沿虚轴至的直线段的复参数方程为,参数,由沿水平方向向右至的复参数方程为,参数,所以
2、分别沿与算出积分的值.
解:的复参数方程为,,参数所以
;
的复参数方程为,,参数所以
5、计算积分的值,其中为正向圆周:
(1)
解:设是内以被积函数的奇点为圆心的正向圆周,那么
6、试用观察法得出下列积分的值,并说明观察时所依据的是什么?是正向圆周:
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) .
解:(1) ,根据柯西积分定理;
(2) ,根据柯西积分定理;
(3) ,根据柯西积分定理;
(4) ,根据复合闭路定理;
(5) ,根据柯西积分定理;
(6) ,根据柯西积分定理及复合闭路定理.
7、沿指定曲线的正向计算下列积分:
(1) ,;
(2) ,;
(3) ,;
(4) ,;
(5) ,;
(6) ,为包围的闭曲线;
(7) ,;
(8) ,;
(9) ,;
(10) ,.
解:(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8) ;
(9) ;
(10) .
21、证明:和都是调和函数,但是不是解析函数.
证明:因为,,,,
,,,,
所以
,,且,.
即和都是调和函数,但是不是解析函数.
22、由下列各已知调和函数求解析函数,并写出的表达式:
(1) ;
(2) ,;
(3) ,.
解:(1) 因为是调和函数,所以
,.
于是
.
那么
,
则
,
所以
,
(2) ,.
因为是调和函数,所以
,
从而.
由知,所以.
(3) 因为是调和函数,所以
,.
于是
.
那么
,
则
,
所以
,
由知,所以.
习题4:
1、下列数列是否收敛?若收敛,求其极限.
(1) ; (2) ; (3) ; (4) .
解:(1) ,当时,实部,虚部,所以
收敛于.
(2) ,当时,那么,所以收敛于0.
(3) 当时,实部是发散的,所以发散.
(4) ,实部和虚部都发散,所以发散.
2、判断下列级数的收敛性与绝对收敛性:
(1) ; (3) .
解:(1) 记,则当时,那么不趋近于0,所以级数发散.
(3) 收敛,即级数绝对收敛,所以收敛.
7、将下列各函数展成的幂级数,并指出它们的收敛半径.
(1) ; (3) .
解:(1) .
因为,所以收敛半径.
(3)
因为,所以收敛半径.
8、将下列各函数在指定点处展成泰勒级数,并指出它们的收敛半径.
(3) ,; (4) ,; (6) ,.
解:(3) ,则.
因为,所以收敛半径.
(4) ,则
.