文档介绍：非平稳随机过程
从本章起介绍计量经济学近20年来最新研究成果。从1974年开始计量经济学工作者渐渐意识到当用含有单位根的时间序列建立经典计量经济模型时会出现一些问题,这就是虚假回归。
应该知道通过经济数据了解经济变量的变化规律有时是存在相当大的局限性的,所以在建立模型时,必须依靠经济理论,同时对参数进行假设检验。实际上,只有经济理论是不够的。比如处于调整中的经济变量,哪些是它的外生变量,哪些是它的无关变量,单凭经济理论就很难判别清楚。所以当研究经济变量参数变化规律时,常常采用另外一种方法,即依靠统计理论的方法,通过设计具有某种特征的能生成数据的随机过程或数据生成系统研究经济问题。下面常常用到数据生成系统这个概念。
趋势平稳与差分平稳
趋势平稳:均值非平稳
如果yt不是围绕着某个常数波动,而是围绕某一趋势波动,即
yt = b0 + b1 t + ut, ()
F (L)ut = Q (L) vt
ut为平稳可逆的ARMA过程。显然,E(yt) = b0 + b1 t。因此,{ yt }是非平稳的。将b0 + b1 t称作趋势成分。因为该过程是由确定性趋势b0 + b1 t和平稳随机过程ut组成,yt减去趋势后,即yt - b0 - a t = ut为平稳过程。因此,将其称作退势平稳过程或趋势平稳过程(trend stationary process)。
线性趋势只是确定性趋势的一个例子。实践中另外一种常见情形是二次趋势,即
yt = b0 + b1 t + b2 t2 + ut, (ut ~ WN(0, s2))
均值非平稳的另外一种常见情形是存在结构突变。即在不同的时段,yt围绕着不同的均值波动。战争、石油危机、政府政策等都属于由结构突变导致的序列非平稳情形。这可以通过引入虚拟变量来刻画:
yt = b0 + b1 D + ut,
对于均值非平稳过程的分析与原来的平稳过程没有本质差异。首先利用LS方法进行退势,利用退势后的残差{ut}建立ARMA模型。几个关键特征如下。
冲击项的影响是短暂的。由平稳可逆的ARMA过程的特点可知,冲击项vt对yt的影响会逐渐消失,因此,影响是短暂的。这种影响的模式取决于ut的ARMA结构。如果为MA(q)过程,则vt对yt的影响只会持续q期;如果为AR(p)过程,则vt对yt的影响是长久的,但影响程度逐渐衰减,给定足够长的间隔期,影响可以忽略不计。但冲击项vt不会影响yt的长期趋势成分。
变量表现为趋势回归。长期趋势成分是序列波动的中心线。围绕这这一中心线的波动成分为ARMA过程。但波动不会长期偏离长期趋势成分,我们称之为趋势回归。
冲击项不改变长期预测。我们已经知道,ut的ARMA结构有助于提高短期预测精确度。对于MA(q)成分会影响未来q期的预测,AR(p)成分会影响未来无穷期的预测,但程度呈指数衰减,以至于忽略不计。即
冲击项的影响是短暂的,所以对yt的长期预测就是其趋势成分。
预测误差的方差是有界的。长期内的预测误差即是ut,预测误差即是ut的方差,显然是有界的。
差分平稳:方差非平稳
另外一种非平稳过程表现为方差非平稳:
xt = xt-1 + ut ()
其中,ut 是平稳可逆的ARMA过程。随着时间的推移,{ xt }的方差变得无限大。
xt = xt -1 + ut = ut + (xt -2 + ut-1)
= x0 + (ut + ut-1 + ut-2 + …+ u1) = x0 +
E(xt) = x0
Var(xt) = = ® ¥
将称作随机趋势。与趋势平稳过程不同,这种过程的差分是平稳过程。因此,也将其称作差分平稳过程。
E(xt - xt-1) = E( ut ) = 0
这表示yt的变化的期望值为0。
案例:股票价格。
差分平稳:均值、方差非平稳
另外一种更一般的差分平稳过程为带漂移项的过程:
xt = m + xt-1 + ut ()
其中,ut 是平稳可逆的ARMA过程。
xt = m + xt -1 + ut = m + ut + (m + xt -2 + ut-1)
= x0 + m t + (ut + ut-1 + ut-2 + …+ u1) = x0 + m t +
E(xt) = x0 + m t
这一公式表明,如果把第t期视作初始期,对t+1期最好的预测值为x0 + m,对t+2期最好的预测值为x0 + 2 m。其中,x0表示第t期的观测值。
Var(xt) = = ® ¥
将称作随机趋势。与趋势平稳过程不同,这种过程的差分是平稳过程。因此,也将其称作差分平稳过程。
E(xt - xt-1) = E(m + ut )