文档介绍：例谈从二次函数中培养学生的直觉思维
骆银海(牌头中学浙江诸暨 311825 pzluoyh@)
数学思维可以分为逻辑思维和直觉思维,逻辑用于证明,直觉用于发明。新课标非常强调学生创新意识与创新能力的培养,直觉思维是数学创造与创新的基础。因此,如何培养学生的数学直觉思维至关重要。从解题教学来看,数学直觉思维也可理解为一拿到题目时的题感,题感在一定程度上是可以后天培养的,实际上每个人的数学直觉也是不断通过训练提高的,我们常说“艺高人胆大!”实际上数学还有“胆大人艺高!”
二次函数作为中学生应用最广泛的初等函数,也是最简单的非线性函数,具有许多优美的性质,是数学命题老师感兴趣的考点。题目中背景设计之精巧、过程之流利、答案之美妙常引起师生的共鸣!笔者有幸参与了诸暨市说题展示和浙江省数学教师教学能力评比与观摩活动,颇有一点体会:在解决二次函数问题中可大力培养学生的直觉思维,也就是说增强学生拿到题目时的题感,迅速接近解出正确答案的思路和方法,举例如下:
例1(诸暨市说题展示例题)已知函数,若且,求的取值范围。
X
对称轴x=1
x2
x1
(1,4)
分析:由题意分析并结合作图可知:可设
直觉思维培养:由数形结合可知,当
猜想:答案就是
其实,随着f(x)不断变大,变小,变大,但变化都是连续的,可以得出是关于t的递减函数,证明:
故的取值就是f(x)趋向于0和4时两个极端位置时的取值:即
反思:本题也为诸暨市高三数学二模考试试题,当时准确率不怎么高,有些同学做了很长时间,也没求对;做对的有些同学是一拿到题目时,题感较好,马上就找感觉想到:是否存在两个极端位置?,很快就有了答案!可见,
数学直觉思维活动在时间上表现为快速性,即它有时是在一刹那间完成的;在过程上表现为跳跃性;在形式上表现为简约性,简约美体现了数学的本质。直觉思维是一瞬间的思维火花,是长期积累上的一种升华,是思维者的灵感和顿悟,是思维过程的高度简化。
不仅仅是二次函数背景中可考虑直觉思维,类似对数图像背景也如出一辙!
10年高考全国卷就是这样设计的:
X
1
a
b
O
Y
【发散】(2010全国卷Ⅰ第10题)已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
分析:本小题主要考查对数函数的性质、
函数的单调性、函数的值域,
作图分析如右:
考生在做本小题时极易忽视a的取值范围,
而利用均值不等式求得a+2b,
从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.
因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或,所以a+2b=
又0<a<b,所以0<a<1<b,令,由“对勾”函数的性质或求导知识可知函数在(0,1)上为减函数,所以f(a)>f(1)=1+=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).
直觉思维培养:是没有问题的!若能考虑到a+2b的最小值是:f(a)=f(b)→0时取到,那本题解题不就是很容易了吗?再结合简单扼要的证明,那解题就变的是既快又准确,可以体会到直觉思维给我们带来的好处!
(3,4)
x=1
X1
X
(0,0)
(1,-1)
例2(2008浙江高考第15题)t为常数,函数在区间上的最大值为2,求t的值